Gradiente

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No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradiente possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Por exemplo, o gradiente da topografia H de um terreno, também chamado de declividade, é dado por:

${\displaystyle \nabla H={\frac {\text{distância vertical}}{\text{distância horizontal}}}}$

O símbolo ${\displaystyle \nabla }$, isto é, nabla, é a notação do operador gradiente.

Suponha que tenhamos uma viga retilínea cujas extremidades estão em contato com duas paredes a temperaturas diferentes, uma à esquerda e outra à direita, sendo a parede à direita a mais quente. Observamos que a temperatura da viga não é constante em relação ao espaço, e que cresce da esquerda para a direita ao longo de seu comprimento. Definindo a coordenada ${\displaystyle x=0}$ para a extremidade à esquerda e ${\displaystyle x=L}$ para a extremidade à direita, definimos a temperatura ${\displaystyle T}$ em uma posição qualquer (variável ${\displaystyle x}$) da viga como uma função ${\displaystyle T(x)}$.

Entre dois pontos muito próximos, distantes de um comprimento ${\displaystyle dx}$, teremos uma respectiva variação de temperatura ${\displaystyle dT}$. Em uma situação unidimensional, a razão entre essas grandezas fornece o gradiente, denotado por:$${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T={dT \over dx}{\overrightarrow {i}}}$$Note que, para apenas uma dimensão, a noção de derivada e gradiente convergem.

Em condução térmica, o gradiente de temperatura é responsável pelo surgimento de um fluxo de calor, segundo a Lei de Fourier, que, para condução unidimensional, é representada por:$${\displaystyle q_{x}''=-k{dT \over dx}}$$onde ${\displaystyle q_{x}''}$ corresponde ao fluxo de calor, em ${\displaystyle W/m^{2}}$, e ${\displaystyle k}$ corresponde à condutividade térmica do material, em ${\displaystyle W/m.K}$. O sinal negativo indica que o calor fluirá do corpo mais quente em direção ao corpo mais frio.

Na prática, a temperatura da viga varia em função das coordenadas no espaço. Estabelecendo um ponto qualquer ${\displaystyle M=(x,y,z)}$, teremos, em uma situação mais próxima da realidade, uma função ${\displaystyle T(x,y,z)}$que descreve a temperatura nas coordenadas de ${\displaystyle M}$.

Se nos deslocarmos em apenas um eixo do espaço, podemos escrever a função ${\displaystyle T}$ considerando esse deslocamento. Para uma variação da coordenada ${\displaystyle y}$, por exemplo, teremos a relação:$${\displaystyle T(x,y+dy,z)=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial y}dy}$$Seguindo a mesma lógica, para um deslocamento entre um ponto qualquer ${\displaystyle M}$ e outro que chamaremos de ${\displaystyle M'}$, teremos um vetor ${\displaystyle {\overrightarrow {h}}={\overrightarrow {MM'}}=(h_{x},h_{y},h_{z})}$, havendo mudança da temperatura de ${\displaystyle T(x,y,z)}$ para ${\displaystyle T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})}$. Assim, teremos a relação:$${\displaystyle T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial x}(x,y,z)h_{x}+{\partial T \over \partial y}(x,y,z)h_{y}+{\partial T \over \partial z}(x,y,z)h_{z}}$$É possível simplificar essa relação definindo um vetor gradiente de temperatura ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T}$, no qual cada componente indica a variação da temperatura em cada coordenada:$${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(x,y,z)={\biggl (}{\partial T \over \partial x}(x,y,z),{\partial T \over \partial y}(x,y,z),{\partial T \over \partial z}(x,y,z){\biggr )}}$$Assim, podemos representar a mudança de temperatura da posição ${\displaystyle M}$ para ${\displaystyle M'}$ por:$${\displaystyle T(M+{\overrightarrow {h}})=T(M)+{\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}}$$sendo ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}}$ o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor ${\displaystyle {\overrightarrow {h}}}$.

Da mesma forma que no caso unidimensional, o vetor gradiente de temperatura terá orientação partindo do mais frio em direção ao mais quente.

Assim, no contexto de transferência de calor, teremos a Lei de Fourier aplicada ao sistema tridimensional, representada por:$${\displaystyle {\overrightarrow {q''}}=-k{\overrightarrow {\nabla }}T}$$Novamente, ${\displaystyle {\overrightarrow {q''}}}$ corresponde ao fluxo de calor e ${\displaystyle k}$ corresponde à condutividade térmica do material. Perceba que, como o calor flui da região de temperatura mais alta para uma de temperatura mais baixa, os vetores fluxo de calor e gradiente de temperatura terão sentidos contrários.^[1]

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar ${\displaystyle f_{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}$ é determinado via ênupla ordenada definida por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle }$

ou, via notação de soma de Euler, por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}}$

onde ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f_{(x_{1},\dots ,x_{n})}={\mbox{grad}}\,f}$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

${\displaystyle \nabla f={\mbox{grad}}\,f=D_{f}}$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Para a função escalar

${\displaystyle f_{\!\left(x,y,z\right)}=4x+10y^{2}-\sin z}$

tem-se, na base cartesiana ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}}$

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial z}}{\hat {k}}}$

que fornece por resposta a ênupla

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=\left\langle 4;20y;-\cos z\right\rangle }$

ou explicitamente

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=(4){\hat {i}}+(20y){\hat {j}}+(-\cos z){\hat {k}}}$

para qualquer ponto definido pelas coordenadas ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Para todo campo escalar ${\displaystyle f}$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\displaystyle {\vec {r}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }$ temos que:

${\displaystyle \nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle }$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

${\displaystyle \nabla f={\frac {df}{dx}}}$

O gradiente é linear:

${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)}$

Onde ${\displaystyle \mathbb {F} }$ é um corpo constante.

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

${\displaystyle \nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f}$

E na divisão:

${\displaystyle \nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)}$

O vetor gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja ${\displaystyle f(x\,,y)}$ uma função definida em ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto ${\displaystyle C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que ${\displaystyle x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}}$.

Então, temos:

${\displaystyle f(x(t)\,,y(t))=k}$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0}$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em ${\displaystyle (x_{0}\,,y_{0})}$, logo os dois são perpendiculares entre si.

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

${\displaystyle \Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}}$

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo,${\displaystyle {\hat {u}}}$). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido ${\displaystyle {\hat {u}}}$.^[3]

${\displaystyle \forall {\hat {u}}\quad D\!_{\hat {u}}\,f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f}$

Assim, podemos tirar algumas observações^[4] a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor ${\displaystyle {\hat {u}}}$:

1. Se o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ e ${\displaystyle {\hat {u}}}$, denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:

${\displaystyle |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(0)=D_{\hat {u}}\,f|_{max}=|{\vec {\nabla }}f|}$

2. Se o ângulo θ for igual a ${\displaystyle 180^{o}}$, então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):

${\displaystyle |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(180)=D_{\hat {u}}\,f|_{min}=-|{\vec {\nabla }}f|}$

3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k, onde k é uma constante, e se o vetor ${\displaystyle {\hat {u}}}$ for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ será perpendicular a ${\displaystyle {\hat {u}}}$, e normal à curva de nível. Neste caso:

${\displaystyle D_{\hat {u}}f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f=0}$

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Onde ${\displaystyle \rho }$ representa a distância ao eixo z, ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }}$

Onde ${\displaystyle r}$ representa a distância à origem, ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

O conceito de gradiente na física está fortemente relacionado aos conceitos de campo conservativo e de função potencial, de tal forma que também na matemática se define campo vetorial conservativo.^[4]

Na física campos conservativos são campos que conservam a energia do sistema, isto é, campos onde não há dissipação de energia.

A função vetorial ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar ${\displaystyle \varphi }$, chamada função potencial, tal que: ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}=\nabla \varphi }$. Sendo assim, dada uma função potencial ${\displaystyle \varphi (x,y,z)}$ ou uma função potencial do tipo ${\displaystyle \varphi (r)}$, basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a ${\displaystyle \varphi }$.

Como ${\displaystyle \varphi }$é uma função de x, y, z então:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}(x,y,z)={\partial \varphi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \varphi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \varphi \over \partial z}{\vec {k}}}$

Se ${\displaystyle \varphi }$é uma função implícita de x, y, z através de ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ou seja, ${\displaystyle \varphi (r)=\varphi (r(x,y,z))}$ é necessário usar a regra da cadeia para calcular o respectivo gradiente. Potenciais deste tipo são chamados de potenciais centrais.

Muitos modelos de potenciais físicos são centrais, sendo assim de grande importância saber como realizar o cálculo deste tipo.

Através da regra da cadeia é possível ver que:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial x}={d\varphi \over dr}{\partial r \over \partial x}=\varphi \prime (r){\partial \over \partial x}{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=\varphi \prime (r)\left[{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}2x\right]}$

Levando em conta que ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ tem-se que:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial x}={\varphi \prime (r) \over r}x}$

Igualmente para as outras variáveis do gradiente:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial y}={\varphi \prime (r) \over r}y}$ e ${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial z}={\varphi \prime (r) \over r}z}$;

Assim, com a soma das três derivadas, temos que :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\varphi (r)=\varphi \prime (r){\hat {r}}}$

Esta última fórmula é a preferencial para quando se tem potenciais centrais, pois ela nos fornece o campo gradiente com apenas uma derivação.

Há três leis empíricas conhecidas como Lei de Fick, Lei de Fourier e Lei de Ohm ás quais são expressas em termos de campos gradientes. A leis citadas regem os chamados "fenômenos de transporte" da Física. Sendo que a Lei de Fick rege o transporte de massa, a Lei de Fourier o do calor e a Lei de Ohm o de cargo.^[4]

São expressas como:

${\displaystyle (1)\,{\vec {J}}(X,Y,Z,T)=-D{\bar {\nabla }}\rho (x,y,z,t)}$

${\displaystyle (2)\,{\vec {q}}(X,Y,Z,T)=-k{\bar {\nabla }}T(x,y,z,t)}$

${\displaystyle (3)\,{\vec {J}}(X,Y,Z,T)=-\sigma {\bar {\nabla }}\varphi (x,y,z,t)}$

Ao observar percebe-se que as três leis relacionam um campo vetorial com o gradiente de um campo escalar.

A (1) é a Lei de Fick que rege a difusão de substâncias em meios contínuos. A função vetorial indicada por ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é chamada de densidade do fluido. ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é um vetor na direção do escoamento e de módulo igual à quantidade de substâncias que atravessam uma unidade de área normal à direção do escoamento, na unidade de tempo.

Definição matemática:

${\displaystyle {\bar {J}}=\rho {\bar {\nu }}}$, em que ${\displaystyle \rho =\rho (x,y,z,t)}$ é o campo escalar que descreve a densidade do fluido, ${\displaystyle {\bar {\nu }}={\bar {\nu }}(x,y,z,t)}$ o campo vetorial que representa a velocidade do fluido. A constante D é chamada de constante de difusão e depende do meio.

A (2) expressão é chamada de Lei de Fourier e rege a condução térmica. A função vetorial indicada por ${\textstyle {\bar {q}}}$ é chamada densidade de corrente de calor.

Definição matemática:

${\displaystyle {\bar {q}}=(Q\div V){\bar {\nu }}}$, onde Q é a quantidade de calor, V o volume e ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ a velocidade de escoamento do calor. Sendo todas grandezas em função das coordenadas espaciais e e do tempo. A constante ${\textstyle k}$ é a condutividade térmica do meio.

A (3) expressão traduz a Lei de Ohm, sendo ${\textstyle {\bar {J}}}$ a densidade de corrente elétrica, ${\displaystyle \sigma }$ a condutividade elétrica e ${\textstyle \varphi }$ o potencial elétrico. A definição da função vetorial ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é análoga à definição de densidade de corrente usada na Lei de Fick, só que aqui ao invés de ter transporte de massa temos transporte de carga.

Sendo estas leis, juntamente com a equação de continuidade, base para deduzir as equações de difusão, do calor e, no caso do escoamento estacionário, a equação de Laplace .

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.^[5]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano