Integração por partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:^[1][2]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

onde ${\displaystyle f(x)\,}$ e ${\displaystyle g(x)\,}$ são funções de classe C¹ no intervalo ${\displaystyle x\in [a,b]\,}$, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

${\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}$

onde ${\displaystyle u\,=f(x)}$, ${\displaystyle dv\,=g'(x)dx}$, ${\displaystyle v\,=g(x)}$ e ${\displaystyle du\,=f'(x)dx}$.

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

• ${\displaystyle \int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=(x-1)e^{x}\,}$ + C

onde escolheu-se ${\displaystyle u(x)=x\,}$ e ${\displaystyle dv=e^{x}dx\,}$.

• ${\displaystyle \int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,}$

escolhendo ${\textstyle u=\ln(x)}$ e ${\textstyle dv=x\,dx}$.

Pela regra do produto, temos que:

${\displaystyle {d \over dx}[u(x)*v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}$

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

${\displaystyle u(x)*v(x)=\int u'(x)*v(x)dx+\int u(x)*v'(x)dx}$

Abrindo o u'(x) e v'(x):

${\displaystyle u(x)*v(x)=\int v(x){du \over dx}dx+\int u(x)*{dv \over dx}dx}$

Simplificando as integrais, ficamos com:

${\displaystyle u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv}$

Conclui-se que:

${\displaystyle u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv}$

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