Cálculo matricial

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Na matemática, o Cálculo matricial é uma notação especial para tratar o cálculo multivariável, especialmente em espaços de matrizes, onde está definida a derivada de uma matriz.

Esta notação é conveniente para descrever sistemas de equações diferenciais e para calcular o diferencial de funções de matrizes.

Esta notação é utilizada em Estatística e Engenharia; físicos preferem usar a notação de Einstein.

O princípio básico desta notação é tratar cada vetor como uma matriz coluna, e identificar uma matriz 1x1 com o escalar.

M(n,m) representa o espaço das matrizes reais nxm. Seus elementos serão representados como letras maiúsculas em negrito: F, X, Y, etc.

Um elemento de M(n,1), ou seja, um vetor coluna, será representado por letras minúsculas em negrito: x

Um elemento de M(1,n), ou seja, um vetor linha, será representado como o transposto de um vetor coluna, ou seja, x^T.

Os elementos de M(1,1) são identificados como os escalares, e representados por letras minúsculas em itálico: a, b, c, f, t etc.

Por padrão, as funções são supostas de class C¹.

Por esta notação, o diferencial em relação a um vetor se comporta, formalmente, como o vetor:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

De modo que a derivada de um vetor y_{m x 1} em relação a outro vetor x_{n x 1} poderia ser formalmente escrita como uma multiplicação matricial do vetor-linha ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,}$ pelo vetor-coluna y:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}y={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&\ldots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\ldots \\y_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{n}}}\\\ldots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

• «Tópicos sobre cálculo matricial, Artur Ferreira e Paulo Marques.» (PDF) 
• Linear Algebra: Determinants, Inverses, Rank appendix D from Introduction to Finite Element Methods book on University of Colorado at Boulder. Uses the Hessian (transpose to Jacobian) definition of vector and matrix derivatives.(em inglês)
• Matrix Reference Manual, Mike Brookes, Imperial College London.(em inglês)
• The Matrix Cookbook, with a derivatives chapter. Uses the Hessian definition.(em inglês)
• Linear Algebra and its Applications (author information page; see Chapter 9 of book), Peter Lax, Courant Institute.(em inglês)
• Matrix Differentiation (and some other stuff), Randal J. Barnes, Department of Civil Engineering, University of Minnesota.
• Notes on Matrix Calculus, Paul L. Fackler, North Carolina State University.(em inglês)
• Matrix Differential Calculus (slide presentation), Zhang Le, University of Edinburgh.(em inglês)
• Introduction to Vector and Matrix Differentiation (notes on matrix differentiation, in the context of Econometrics), Heino Bohn Nielsen.(em inglês)
• A note on differentiating matrices (notes on matrix differentiation), Pawel Koval, from Munich Personal RePEc Archive.
• Vector/Matrix Calculus More notes on matrix differentiation.(em inglês)
• Matrix Identities (notes on matrix differentiation), Sam Roweis.(em inglês)

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