Teste da razão

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Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série.

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série de termos positivos.

Fazendo-se ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L}$

Se

• ${\displaystyle L<1\!}$, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
• ${\displaystyle L>1\!}$ ou ${\displaystyle L=\infty \!}$ ou ${\displaystyle \!L=1^{+}\!}$, a série é divergente;
• ${\displaystyle L=1^{-}\!}$, o teste é inconclusivo.

Seja: ${\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{n!}}}$

Classificar ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

a) ${\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{n!}}>0}$

b) ${\displaystyle {\frac {n+1}{n!}}}$ tende para zero quando ${\displaystyle n}$ tende para infinito, pois ${\displaystyle n!}$ cresce muito mais rapidamente que ${\displaystyle n}$.

c) Aplicando o critério de d'Alembert:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=}$ ${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0}$

e como ${\displaystyle L<1}$, a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge.