Conjunto de nível

Seja ${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ um campo escalar e seja ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. O conjunto de nível ${\displaystyle N_{\alpha }}$ da função ${\displaystyle f}$ é o subconjunto de pontos ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle D}$ tais que ${\displaystyle f(x)=\alpha }$.^[1]

Simbolicamente:

${\displaystyle N_{\alpha }=\left\{x\in D\ |\ f(x)=\alpha \right\}.}$

Note-se que um conjunto de nível pode coincidir com o conjunto vazio, se ${\displaystyle \alpha \not \in f(D)}$.

• Se ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, os conjuntos de nível são curvas, podendo ser chamados de curvas de nível.
• Se ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$, os conjuntos de nível são superfícies, podendo ser chamados de superfícies de nível.

Exemplos de aplicações dos conjuntos de nível às mais diversas áreas:

• Em cartografia, as curvas de nível unem pontos de um mapa que se encontram à mesma altitude.
• Em meteorologia, utilizam-se curvas de nível para unir pontos de um mapa com igual pressão (linhas isobáricas).
• Em eletromagnetismo, utilizam-se curvas ou superfícies de nível para representar conjuntos de pontos de um dado espaço que apresentam igual potencial.