Teste de Dirichlet

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Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em matemática, o teste de Dirichlet (referente a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas^[1] que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|<M}$ para todo ${\displaystyle N>0}$
• ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0}$

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ seja convergente.

Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que ${\displaystyle cos(\theta )\neq 1\,}$, considere a série:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n}}}$

Defina ${\displaystyle a_{n}=\sin(n\theta )\,}$ e ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n}}}$ É claro que ${\displaystyle b_{n}}$ é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )=\sin(N\theta )+{\dfrac {\sin((N-1)\theta )-\sin(N\theta )+\sin \theta }{2-2\cos \theta }}\,}$

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ nem a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,}$ convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Sejam f e g funções satisfazendo:

• ${\displaystyle f(x)\in C[a,+\infty ]}$ é tal que a sua antiderivada F no intervalo ${\displaystyle [a,+\infty ]}$ é limitada, ou seja, ${\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leq M\quad \forall x>a}$.
• ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leq 0\quad \forall x>a}$.
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0}$.

Nestas condições:

• ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx}$ converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx=\lim _{y\to \infty }\int _{a}^{+y}f(x)g(x)dx}$

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}}$

mas

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin(x)|}{x}}dx=\infty }$

Defina:

• ${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0}$
• ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0}$
• ${\displaystyle R_{0}=S_{0}=0\,}$

Escreva para ${\displaystyle k>0}$:

${\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(R_{n}-R_{n-1}\right)b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_{n}\,}$

Trocando índices temos:

${\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N}^{N+k-1}R_{n}b_{n+1}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-R_{N}b_{N+1}+R_{N+k}b_{N+k+1}\,}$

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que ${\displaystyle |b_{n}-b_{n+1}|=b_{n}-b_{n+1}}$ pela monotocidade.

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|R_{n}|\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+|R_{N}|b_{N+1}+|R_{N+k}|b_{N+k+1}\,}$

Da primeira hipótese, ${\displaystyle |R_{n}|\leq M}$, e assim:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\,}$

A soma telescópica pode ser simplificada:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\leq 3Mb_{N+1}\,}$

Como ${\displaystyle b_{n}\to 0}$, escolha ${\displaystyle N>0}$ tal que:

${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{3M}},\forall n>N}$

Conclui-se que:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \varepsilon \,}$

E portanto ${\displaystyle S_{n}}$ é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Para demonstrar o teorema de convergência de séries usa-se uma identidade conhecida como Soma por Partes.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=f_{(n)}.g_{(n)}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }g_{(n+1)}.\Delta f_{(n)}}$

Esta identidade é análoga à integração por partes, Definindo algumas notações:

${\displaystyle \Delta f_{(n)}=f_{(n-1)}-f_{(n)}}$

${\displaystyle g_{(n)}|_{1}^{n+1}=g_{(n+1)}-g_{(n)}}$

Tem-se

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=f_{(n)}.g_{(n)}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }g_{(n+1)}.\Delta f_{(n)}}$

${\displaystyle g_{(n)}=S_{n-1}}$ e ${\displaystyle f_{(n)}=b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{(n)}.\Delta S_{(n-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}a_{n}}$ onde ${\displaystyle \Delta S_{n-1}=a_{(n)}}$

Então

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n)}.S_{n-1}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}-b_{1}S_{0}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}+\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(-\Delta b_{(n)})}$

Assim o ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n+1}S_{n}=0}$ pois ${\displaystyle S_{n}}$ é limitada e o ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$

Tem-se ainda, por definição, que ${\displaystyle b_{n}}$ é decrescente, logo ${\displaystyle \Delta b_{(n)}=b_{(n+1)}-b_{n}\leq 0\Rightarrow (-\Delta b_{(n)}\geq 0}$, o que torna a série

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(-\Delta b_{(n)})}$ absolutamente convergente pois ${\displaystyle S_{n}}$ é limitada, então ${\displaystyle \mid S_{n}\mid \leq c>0}$.

Então: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .\mid (-\bigtriangleup b_{n})\mid }$, com ${\displaystyle (-\bigtriangleup b_{n})}$ não negativo.

=${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .(-\bigtriangleup b_{n})\leq \sum _{n=1}^{\infty }c(-\bigtriangleup b_{n})}$, pois ${\displaystyle \mid S_{n}\mid \leqslant c}$

=${\displaystyle -c.(b_{n+1}-b_{n})}$ onde aplica-se a soma telescópica.

Por comparação:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .\mid (-\bigtriangleup b_{n})\mid \leq -c.(b_{n+1}-b_{n})}$,onde ${\displaystyle b_{n+1}}$ tende à zero, e portanto a série é absolutamente convergente, implicando que a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ é convergente.

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