Nabla

Nabla é um símbolo representado por ∇. O nome está associado a uma palavra grega que designa um instrumento musical (tipo de lira)^[1] com uma forma semelhante ao símbolo.^[2]

O símbolo nabla — também chamado de grad^[3], del ou atled (delta ao contrário)^[4] — foi introduzido por William Rowan Hamilton em 1837, mas não com o objetivo de representar o gradiente de uma função. Sempre que Hamilton precisava resumir alguma operação, usava esse triângulo invertido.

Posteriormente, o símbolo foi batizado por Peter Guthrie Tait (1831–1901), um colega de Maxwell. Tait chamou o ∇ de “nabla”, por achar que a imagem se parecia a uma lira de origem hebraica que tinha esse nome.^[5]

C. T. Tai escreveu um relatório técnico sobre “usos impróprios” de ∇ em artigos teóricos de análise vetorial.^[6]

No cálculo vetorial, o operador ${\textstyle {\vec {\bigtriangledown }}}$, pronunciado nabla ou del, é um símbolo usado para denotar uma série de operadores diferenciais definidos em campos escalares e vetorias, como gradiente, divergente e rotacional. Ele é definido simbolicamente como:

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}}$

Rigorosamente falando, o operador del não é um operador diferencial, mas um mnemônico que ajuda a lembrar de uma série de operadores diferenciais:

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}f=i{\partial f \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial f \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial f \over \partial z}(Gradiente),}$

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}\cdot {\vec {F}}={\partial F_{1} \over \partial x}+{\partial F_{2} \over \partial y}+{\partial F_{3} \over \partial z}(Divergente),}$

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}\times {\vec {F}}={\vec {i}}{\biggl (}{\partial F_{3} \over \partial y}-{\partial F_{2} \over \partial z}{\Biggr )}+{\vec {j}}{\biggl (}{\partial F_{1} \over \partial z}-{\partial F_{3} \over \partial x}{\Biggr )}+{\vec {k}}{\biggl (}{\partial F_{2} \over \partial x}-{\partial F_{1} \over \partial y}{\Biggr )}(Rotacional).}$

O rotacional pode ser representado pelo seguinte determinante simbólico, que funciona como um mnemônico para lembrar facilmente de sua definição:

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}\times {\vec {F}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\\ {\operatorname {\partial } \over \operatorname {\partial } \!x}&{\operatorname {\partial } \over \operatorname {\partial } \!y}&{\operatorname {\partial } \over \operatorname {\partial } \!z}\\\ F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}}$^[7]