Série de Laurent

Em matemática, a série de Laurent de uma função complexa f(z) é sua representação como uma série de potências que inclui termos de grau negativo. Pode ser utilizada para expressar funções complexas nos casos em que uma expansão em série de Taylor não pode ser feita. A série de Laurent tem o nome de quem a primeiro publicou, em 1843: Pierre Alphonse Laurent. Karl Weierstrass pode tê-la descoberto primeiro em um artigo escrito em 1841, mas este foi publicado postumamente.^[1]

A série de Laurent para uma função complexa f(z) sobre um ponto c é dada por:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

em que a_n são constantes, definidas pela integral de linha,^[2] que é uma generalização da fórmula integral de Cauchy:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$

O caminho de integração ${\displaystyle \gamma }$ é anti-horário ao redor de uma curva de Jordan ao redor de c e estando em uma coroa circular A em que ${\displaystyle f(z)}$ é holomórfica (analítica). A expansão para ${\displaystyle f(z)}$ vai então ser válida em qualquer lugar dentro da coroa.

Considere-se um anel A em C, ou seja, um conjunto da forma

${\displaystyle A=\left\{z\in \mathbb {C} \,\vert \,r<|z-c|<R\right\},}$

onde c ∈ C e onde r, R ∈ [0,+∞] são tais que r < R. Se f for uma função analítica cujo domínio contenha A então é possível representar f(z), para cada z ∈ A, sob a forma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

de uma e uma só maneira.

Os coeficientes da série de Laurent da função analítica f no anel A:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

podem ser obtidos pelo seguinte processo:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$

em que γ é um lacete (ou caminho fechado) com imagem no anel dado e cujo índice relativamente a c seja igual a 1. A representação de f(z) pela série de Laurent dada é então válida para qualquer ponto do anel.

• Complex Analysis , L. Ahlfors, 1979, 3rd ed. McGraw Hill