Cálculo
Cálculo integral
Definições
Integração por
Em matemática , a regra do produto , também designada por "lei de Leibniz ", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.[ 1]
Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,
Em linguagem matemática
Em português
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}
A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa,
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
d
d
x
[
f
(
x
)
]
+
f
(
x
)
d
d
x
[
g
(
x
)
]
{\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x){{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x){{d \over dx}\left[g(x)\right]}}
ou, segundo a notação de Leibniz :
d
d
x
(
u
v
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
.
{\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}
A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz :
d
d
x
(
u
⋅
v
⋅
w
)
=
d
u
d
x
⋅
v
⋅
w
+
d
v
d
x
⋅
u
⋅
w
+
d
w
d
x
⋅
u
⋅
v
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+{\dfrac {dv}{dx}}\cdot u\cdot w+{\dfrac {dw}{dx}}\cdot u\cdot v}
Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto. Sejam
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle u=f(x)}
v
=
g
(
x
)
{\displaystyle v=g(x)}
u
v
{\displaystyle uv}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
se
x
{\displaystyle x}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Δ
u
{\displaystyle \Delta u}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
A variação da área do retângulo é então:
Δ
(
u
v
)
=
(
u
+
Δ
u
)
(
v
+
Δ
v
)
−
u
v
=
(
Δ
u
)
v
+
u
(
Δ
v
)
+
(
Δ
u
)
(
Δ
v
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}}
isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.
Dividindo por
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
(
u
v
)
Δ
x
=
(
Δ
u
Δ
x
)
v
+
u
(
Δ
v
Δ
x
)
+
(
Δ
u
Δ
x
)
(
Δ
v
Δ
x
)
Δ
x
.
{\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.}
E tomando o limite
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}
d
d
x
(
u
v
)
=
(
d
u
d
x
)
v
+
u
(
d
v
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).}
Seja uma função
h
(
x
)
=
x
e
x
{\displaystyle h(x)=xe^{x}}
g
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle g(x)=e^{x}}
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
[
f
(
x
)
]
+
f
(
x
)
⋅
d
d
x
[
g
(
x
)
]
=
{\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x)\cdot {{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x)\cdot {{d \over dx}\left[g(x)\right]}=}
Substituindo f(x) por x, g(x) por e
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
=
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
e
x
⋅
1
+
x
⋅
e
x
=
(
x
+
1
)
e
x
{\displaystyle ={d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=e^{x}\cdot 1+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}}
↑ STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190.
↑ A parte algébrica da seguinte demonstração é equivalente à apresentada no livro Calculus: An Introductory Approach (1961), de Ivan Niven , nas páginas 75 e 76.
