Cálculo variacional

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O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.

Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação.

Um dos problemas típicos em cálculo diferencial é o de encontrar o valor de ${\displaystyle x}$ para o qual uma dada função ${\displaystyle f(x)}$ alcança um valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variações, o problema em questão é encontrar uma função ${\displaystyle f(x)}$ para a qual um funcional ${\displaystyle I[f]}$ atinge um valor extremo. O funcional ${\displaystyle I[f]}$ é composto por uma integral que depende de ${\displaystyle x}$, da função ${\displaystyle f(x)}$ e algumas de suas derivadas.

${\displaystyle I[f]=\int _{a}^{b}-h(x,f(x),f'(x),...)\,dx}$

Onde a função ${\displaystyle f(x)}$ pertence a algum espaço de funções (espaço de Banach, espaço de Hilbert), e tanto ela como suas derivadas podem ter restrições.

Esta fórmula integral pode ser mais complicada permitindo a ${\displaystyle x}$ ser um vetor, e portanto incluindo derivadas parciais para ${\displaystyle f}$.

Em casos mais simples, a resolução do problema pode ser reduzida a resolução da Equação de Euler na forma:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial h}{\partial f'}}\right)=0}$

Qual é a área máxima que pode cercar-se com uma curva de comprimento especificado?

Exemplo: Sejam dois pontos ${\displaystyle A=(a,0),B=(b,0)}$ sobre o eixo x, sendo a distância entre eles estabelecida. Ou seja, ${\displaystyle AB=l}$. O problema de haver uma curva que maximize a área entre ela e o eixo x seria:

Haverá uma função ${\displaystyle f(x)}$ de modo que,

${\displaystyle I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx=}$ max

com as restrições

${\displaystyle G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l}$ (comprimento de arco)

${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$

O problema da curva braquistócrona remonta a Johann Bernoulli (1696). Se refere a encontrar uma curva no plano cartesiano que vá do ponto ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ a origem de modo que um ponto material que desliza sem fricção sobre ela tarda o menor tempo possível em ir de ${\displaystyle P}$ a origem. Usando princípios de mecânica clássica o problema pode formular-se como,

${\displaystyle T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx=}$ min

onde g é a gravidade e as restrições são, ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$. Há de se notar que em ${\displaystyle x=x_{0}}$ existe uma singularidade.

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