Testes de convergência

Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$, então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.

Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .

Suponha que existe ${\displaystyle r}$ de tal modo que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.

Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.

Seja:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

Onde ${\displaystyle \limsup }$ denota o limite superior (possivelmente ${\displaystyle \infty }$ ; se o limite existe, é o mesmo valor).

Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.^[1]

Por exemplo, para a série

1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4

Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.

A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ .

E se

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.

Em outras palavras, a série ${\displaystyle {a_{n}}}$ converge se e somente se a integral convergir.

Se a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ é uma série absolutamente convergente e ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ para n suficientemente grande, então a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge absolutamente.

Se ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$, (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ existe, é finito e diferente de zero, então ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ diverge se e somente se ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ diverge.

Seja ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ uma sequência positiva não crescente. Então a soma ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge se e somente se a soma ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ converge. Além disso, se eles convergirem, então ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$ é válida.

Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ é uma série convergente,
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ é uma sequência monotônica, e
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ é limitado.

Então ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ também é convergente.

Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.

Suponha que os seguintes postulados:

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ,
2. para cada n, ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

Então ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$ são séries convergentes.

• Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .

Considere a série

${\displaystyle (*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}$

O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se

${\displaystyle (**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}$

é finitamente convergente. Uma vez que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

(**) é uma série geométrica com razão ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$ . (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber ${\displaystyle \alpha >1}$ ) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se ${\displaystyle \alpha >1}$ .

Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ converge se e somente se a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge. Da mesma forma, se ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ é válida então ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge.

Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite.^[2]