Integral de Lebesgue

A integral de Lebesgue é, na matemática, uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.^[1][2][3]

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, ${\displaystyle \left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)\,}$ um espaço de medida.

Seja ${\displaystyle \phi :E\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função simples:

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {X} _{E_{k}}(x)\,}$

Diz-se que ${\displaystyle \phi (x)\,}$ é Lebesgue integrável em ${\displaystyle E\,}$ se:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\alpha _{k}|\mu (E_{k})<\infty \,}$ ficando bem convencionado que ${\displaystyle +\infty \cdot 0=-\infty \cdot 0=0\cdot +\infty =0\cdot -\infty =0\,}$

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de ${\displaystyle \phi (x)\,}$ como:

${\displaystyle \int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,}$

Seja ${\displaystyle f:E\to [0,+\infty ]\,}$ uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de ${\displaystyle f(x)\,}$ em ${\displaystyle E\,}$ como:

${\displaystyle \int _{E}f(x)d\mu =\sup _{\phi (x)\leq f(x)}\int _{E}\phi (x)d\mu \,}$, onde ${\displaystyle \phi (x)\,}$ é uma função simples.

A função ${\displaystyle f(x)\,}$ é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

• Quando ${\displaystyle f(x)\,}$ é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
• A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Seja ${\displaystyle f:E\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}f(x),&f(x)\geq 0\\0,&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&f(x)\geq 0\\-f(x),&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,}$

É fácil ver que se ${\displaystyle f(x)\,}$ é mensurável, então ambas ${\displaystyle f^{+}\,}$ e ${\displaystyle f^{-}\,}$ são mensuráveis não negativas e que ${\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)\,}$.

A função ${\displaystyle f(x)\,}$ é dita Lebesgue integrável em ${\displaystyle E\,}$ se ambas as integrais ${\displaystyle \int _{E}f^{+}(x)dx\,}$ e ${\displaystyle \int _{E}f^{-}(x)dx\,}$ forem finitas e sua integral é definida como:

${\displaystyle \int _{E}f(x)dx=\int _{E}f^{+}(x)dx-\int _{E}f^{-}(x)dx\,}$

• Observe que ${\displaystyle f(x)\,}$ é integrável e mensuravel se e somente se ${\displaystyle |f(x)|\,}$ é integrável.

Se ${\displaystyle f(x)\,}$ e ${\displaystyle g(x)\,}$ são funções integráveis em um conjunto mensurável ${\displaystyle E\,}$, então:

• ${\displaystyle \int _{E}\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]d\mu =\alpha \int _{E}f(x)d\mu +\beta \int _{E}g(x)d\mu \,}$
• ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\,}$ quase sempre, então ${\displaystyle \int _{E}f(x)d\mu \leq \int _{E}g(x)d\mu \,}$
• ${\displaystyle \left|\int _{E}f(x)d\mu \right|\leq \int _{E}|f(x)|d\mu \,}$
• ${\displaystyle F\subseteq E\,}$ mensurável, ${\displaystyle f(x)\,}$ é integrável em ${\displaystyle F\,}$ e, ainda:

${\displaystyle \int _{E}f(x)d\mu =\int _{F}f(x)d\mu +\int _{E\backslash F}f(x)d\mu \,}$

• Se ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=E\,}$ então:

${\displaystyle \int _{E}f(x)d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{E_{n}}f(x)d\mu \,}$

• ${\displaystyle \nu (F):=\int _{F}f(x)d\mu \,}$ define uma medida ${\displaystyle \sigma }$aditiva nos subconjuntos mensuráveis de ${\displaystyle E\,}$.

• A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.

• Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.

• O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

• Representação bolo de camadas
• Espaço Lp