Teorema do gradiente

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

O teorema do gradiente, também conhecido como teorema fundamental do cálculo, para integrais de linha, diz que a integral de linha através do campo gradiente pode ser estimada calculando-se o campo escalar original nos pontos finais da curva.

Dado φ : U ⊆ ℝⁿ → ℝ e γ é qualquer curva de p para q. Então,

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Isso é uma generalização do teorema fundamental do cálculo para qualquer curva no plano ou no espaço (geralmente n-dimensões).

Implica ao teorema do gradiente que as integrais de linha através dos campos de gradiente são independentes do caminho. Na física, esse teorema é uma das maneiras de definir a força conservativa. Ao colocar φ como um potencial, ∇φ é um campo conservativo. O trabalho realizado pelas forças conservativas não dependem do caminho seguido pelo objeto, depende somente dos pontos finais, como mostra a equação acima.

O teorema do gradiente também possui uma afirmação interessante: qualquer campo vetorial independente do caminho pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. Assim como o próprio teorema do gradiente, essa consideração tem muitas consequências e aplicações marcantes na matemática pura e na matemática aplicada.

Se φ é uma função diferenciável de algum subconjunto aberto U (de ℝⁿ) para ℝ, e se r é uma função diferenciável em algum intervalo fechado [a, b] para U, então, pela regra da cadeia, a função composta φ ∘ r é diferenciável em (a, b) e

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

para todo t em (a, b). Aqui o ⋅ é usual para denotar o produto interno.

Agora, supõem-se que o domínio U de φ contenha a curva diferencial γ com pontos finais p e q, respectivamente (orientados na direção de p para q). Se r parametriza γ para t em [a, b], então a equação acima mostra que ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}$

onde a definição de integral de linha é usada na primeira igualdade e o teorema fundamental do cálculo na terceira igualdade.

Suponha γ ⊂ ℝ² é o arco circular orientado no sentido anti-horário conforme: (5, 0) para (−4, 3). Usando a definição da integral de linha,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\ \mathrm {sen} \ t)(-5\ \mathrm {sen} \ t)+(5\cos t)(5\cos t))\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\ \mathrm {sen} \ ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \ (2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}\\&={\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \left(2\pi -2\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)\right)\\&=-{\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \left(2\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)\right)\\&=-{\frac {25\left({\frac {3}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}$

Observa-se todos os cálculos meticulosos envolvidos no cálculo direto da integral. Em vez de executar esse procedimento, considerando que a função f(x, y) = xy é diferenciável em todo o ℝ², pode-se simplificar, usando o teorema do gradiente para dizer que,

${\displaystyle \int _{\gamma }y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)=xy|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}$

Nota-se que para qualquer método adotado o resultado será o mesmo. Porém, utilizando o último procedimento, todo o trabalho já é realizado na prova do teorema do gradiente.

Num exemplo mais abstrato, suponha γ ⊂ ℝⁿ tendo p, q como pontos finais, com orientação de p para q. Para u no ℝⁿ, |u| denota a norma Euclidiana de u. Se α ≥ 1 é um número real, então

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}$

Aqui a igualdade final segue o teorema do gradiente, já que a função f(x) = |x|^α+1 é diferenciável em ℝⁿ se α ≥ 1.

Se α < 1 então essa equivalência de manterá na maioria dos casos, devendo-se tomar cuidado se γ transpôr ou cercar a origem, porque o campo vetorial da integral (|x|^α-1)*x não está definido ali. No entanto, o caso α = −1 é um pouco diferente; pois o integrando se torna (|x|^-2)*x = ∇(log|x|), para que a igualdade final se torne log |q| - log |p|.

Supomos que existam n cargas pontuais dispostas num espaço tridimensional e a ni carga pontual tem carga Q_i e está localizada na posição p_i no ℝ³. Quer-se calcular o trabalho realizado na partícula de carga q enquanto ela viaja de um ponto a para outro ponto b no ℝ³. Usando a Lei de Coulomb, pode-se facilmente determinar que a força na partícula na posição r será

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}$

Aqui |u| denota a norma Euclidiana do vetor u no ℝ³, e k = 1/(4πε₀), onde ε₀ é a permissividade do vácuo.

Tomando γ ⊂ ℝ³ − {p₁, ..., p_n} por uma curva arbitrável diferenciável de a para b, então o trabalho feito na partícula é:

${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}$

Agora, para cada i, o cálculo direto mostra que

${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}$

Assim, continuando os passos acima e usando o teorema do gradiente,

${\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}$

chega-se a essa conclusão final. Poderíamos ter completado facilmente esse cálculo usando o potencial eletrostático ou a energia potencial eletrostática (com as recorrentes fórmulas W = −ΔU = −qΔV). No entanto, ainda não se definiu o potencial de energia, porque a afirmação do teorema do gradiente é necessária para provar que essas funções são bem definidas e diferenciáveis ​​e que essas fórmulas são válidas. Portanto, resolvemos este problema utilizando apenas a Lei de Coulomb, a definição de trabalho e o teorema do gradiente.

O teorema do gradiente afirma que se campo vetorial F é o gradiente de alguma função com valor escalar (i.e., e se F for conservativo), então F é um campo vetorial independente do caminho (i.e., a integral de F ao longo de uma curva diferenciada por partes é dependente apenas dos pontos finais).

Este teorema tem uma forte afirmação:

Se F é um campo vetorial independente de caminho, então F é o gradiente de alguma função com valor escalar.^[2]

É simples mostrar que um campo vetorial é independente do caminho se, e somente se, a integral do campo vetorial sobre cada laço fechado em seu domínio for zero. Portanto, a afirmação pode, como uma alternativa, ser declarada da seguinte forma: Se a integral de F sobre cada circuito fechado no domínio da F for zero, então Fé o gradiente de alguma função com valor escalar.

Para ilustrar a importância desse princípio, citamos um exemplo que possui em si consequências físicas significativas. No eletromagnetismo clássico, a força elétrica é uma força independente do caminho; i.e. o trabalho realizado por uma partícula que retornou à sua posição original dentro de um campo elétrico, é zero (assumindo que nenhum campo magnético variável está presente).

Portanto, o teorema acima implica que o campo de força elétrica F_e : S → ℝ³ é conservativo (onde S é um subconjunto aberto de caminho, conectado com ℝ³ , que contém uma distribuição de carga). Seguindo as considerações acima, pode-se definir algum ponto de referência a no S e definir a função U_e: S → ℝ por:

${\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$

Usando a sentença acima como prova, sabe-se que U_e está bem definida e é diferenciável e F_e = −∇U_e (a partir dessa fórmula pode-se fazer uso do teorema do gradiente para, facilmente, derivar a fórmula, já conhecida, para o cálculo do trabalho realizado por forças conservativas: W = −ΔU). Muitas vezes a função U_e é referenciada como a energia potencial eletrostática do sistema de cargas em S (com referência ao potencial zero a). Em muitos casos, presume-se que o domínio S é ilimitado e o ponto de referência a é tomado como "infinito", o que pode ser feito com rigor, usando técnicas limitantes. A função U_e é indispensável para a análise de muitos sistemas físicos.

Muitos dos teoremas de cálculo vetorial generalizam declarações sobre a integração de formas diferenciais. Na linguagem das formas diferenciais e derivadas externas, o teorema do gradiente afirma que

${\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }$

para qualquer forma diferencial, ϕ, definido em alguma curva diferenciável γ ⊂ ℝⁿ (aqui a integral de ϕ além do limite de γ entende-se como sendo a estimativa de ϕ nos pontos finais de γ).

Observa-se a semelhança entre a afirmação antes feita e a versão generalizada do Teorema de Stokes, no qual diz que a integral de qualquer forma diferenciável ω sobre o limite de várias orientações Ω é igual à integral da sua derivada exterior dω sobre todo Ω, i.e.,

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }$

Essa declaração é uma generalização do teorema do gradiente de formas 1, definidas em variedades unidimensionais para formas diferenciais determinadas para várias dimensões arbitrárias.

As considerações a respeito da inversa do teorema de gradiente possui uma grande generalização em termos de formas diferenciais variadas. Em particular, supõem-se que ω é uma forma definida em um domínio contraível e a integral de ω sobre qualquer domínio fechado é zero. Então, existe uma fórmula ψ tal que ω = dψ. Assim, num domínio contratual toda forma fechada é igual a zero. Esse resultado é definido pelo teorema de Poincaré Lemma.

• Teorema da curva de Jordan
• Diferencial de uma função
• Mecânica Clássica

Referências

1. ↑ Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 374. Pearson Education, Inc.
2. ↑ "Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 410. Pearson Education, Inc."

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