Teste da condensação de Cauchy

Em matemática, o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente ${\displaystyle f(n)}$ de números reais, então a série ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ converge se e somente se a "série condensada" ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que ${\displaystyle 2\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$.

Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel, e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando ${\displaystyle p>1}$.

O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:

${\displaystyle 0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty }$

as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos.

Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$

Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente ${\displaystyle f(n)}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}}$

A série ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}}$ converge se ${\displaystyle p>1}$ e diverge se ${\displaystyle p\leq 1}$.

Se ${\displaystyle p\leq 0}$ a série claramente diverge, já que ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{p}}}\neq 0}$. Se ${\displaystyle p>0}$, aplicando o teste da condensação, temos:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{np}}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{(1-p)n}}$.

Temos ${\displaystyle 2^{1-p}<1}$ se e somente se ${\displaystyle 1-p<0}$, ou seja, ${\displaystyle p>1}$. O resultado segue da convergência da série série geométrica, fazendo ${\displaystyle r=2^{1-p}}$.^[1]

Se ${\displaystyle p>1}$ então a série ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\log {n})^{p}}}}$ converge. Se ${\displaystyle p\leq 1}$ então a série diverge.

A monotonocidade da função logarítmica implica que ${\displaystyle \log {n}}$ é crescente. Sendo assim, ${\displaystyle 1/n\log {n}}$ é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{n}(\log {2^{n}})^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\log {2})^{p}}}={\frac {1}{(\log {2})^{p}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ e o resultado segue do teorema anterior.^[2]