Diferencial de uma função

Em cálculo, o diferencial representa a parte principal da variação de uma função ${\displaystyle y=f(x)}$ com relação à variações na variável independente. O diferencial ${\displaystyle dy}$ é definido por: $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$ na qual, ${\displaystyle f'(x)}$ é a derivada de ${\displaystyle f}$ em relação a ${\displaystyle y}$, e ${\displaystyle dx}$ é uma variável real extra (de modo que ${\displaystyle dy}$ é uma função de ${\displaystyle x}$ e de ${\displaystyle dx}$). A notação é tal que a equação é válida: $${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$A derivada é representada na notação de Leibniz ${\displaystyle dx/dy}$, e isso é consistente com o tratamento da derivada como um quociente de diferenciais. Também se escreve: $${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$ O significado preciso das variáveis ${\displaystyle dy}$ e ${\displaystyle dx}$ depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático exigido. O domínio destas variáveis pode ter um significado geométrico particular se o diferencial é considerado como uma forma diferencial particular, ou um significado analítico se o diferencial é considerado como uma aproximação linear para o incremento de uma função.^[1][2]

Tradicionalmente, as variáveis ${\displaystyle dx}$ e ${\displaystyle dy}$ são consideradas muito pequenas (infinitesimais), e esta interpretação é formalizada em análise não padronizada.^[3]

Uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ se diz diferenciável no ponto ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ se existe uma aplicação linear ${\displaystyle \ell :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ tal que:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\dfrac {f(x)-f(a)-\ell (x-a)}{||x-a||}}=0.}$

Em tal caso, ${\displaystyle \ell =\ell (a)}$ denota-se ${\displaystyle Df(a)}$ e se denomina o diferencial da função ${\displaystyle f}$ no ponto ${\displaystyle a.}$^[1]