Operador diferencial

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Na matemática, um operador diferencial é definido como uma função do operador de diferenciação. É útil, primeiramente por questão de notação, ao considerar diferenciação como uma operação abstrata que recebe uma função e retorna outra função (no estilo de uma função de ordem maior em ciência da computação).

Este artigo considera principalmente operadores lineares, que são o tipo mais comum. Porém, operadores não-lineares, como a derivada Schwarziana, também existem.

Assuma que haja uma transformação ${\displaystyle A}$ de um espaço funcional ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ para outro espaço funcional ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ e uma função ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$ tal que ${\displaystyle f}$ é a imagem de ${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}}$, ou seja, ${\displaystyle f=A(u)}$. Um operador diferencial é representado como uma combinação linear, finitamente gerada por ${\displaystyle u}$ e suas derivadas de alto grau, tal como

${\displaystyle P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$

em que o conjunto de inteiros não-negativos, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$, é um índice múltiplo, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$é chamado de comprimento, ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ são funções em algum domínio aberto em um espaço n-dimensional e ${\displaystyle D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\ .}$

O operador diferencial é denotado por ${\displaystyle D}$ , que representa a ação de tomar a derivada em si, de modo que, dada uma função ${\displaystyle y=f(x)}$ , temos que as representações comuns para a primeira derivada em relação à uma variável x incluem:

${\displaystyle {d \over dx},D,\,D_{x},\,}$ e ${\displaystyle \partial _{x}.}$

Quando tomando derivadas de maior grau, n, o operador pode também ser escrito como:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}},Dn,{\displaystyle D^{n}\,,}D^{n}\,}$e ${\displaystyle D_{x}^{n}.\,}$

A derivada de uma função ${\displaystyle f}$ de argumento ${\displaystyle x}$ é às vezes dada em uma das seguintes formas:

${\displaystyle [f(x)]'\,\!}$, ${\displaystyle f'(x).\,\!}$

A criação e uso da notação ${\displaystyle D}$ é creditada à Oliver Heaviside, que considerou operadores diferenciais da forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

em seu estudo sobre equações diferenciais.

Um dos operadores diferenciais mais vistos é o operador Laplaciano, definido como

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}$

Na escrita, seguindo a convenção matemática padrão, o argumento do operador diferencial é usualmente colocado do lado direito do próprio operador. Às vezes, porém, uma notação alternativa é usada: o resultado de aplicar o operador na função do lado esquerdo do operador e do lado direito, e a diferença obtida quando aplicando o operador diferencial à funções de ambos os lados, são denotadas por flechas da maneira seguinte:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Tal notação de flecha bidirecional é frequentemente usada para descrever a corrente de probabilidade na mecânica quântica.

Artigo principal: Del

O operador diferencial del, também chamado de operador nabla, é um importante operador diferencial vetorial. Ele aparece frequentemente na física em locais como a forma diferencial das equações de Maxwell. Nas coordenadas tridimensionais Cartesianas, del é definido como:

${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} .}$

O del é usado para calcular o gradiente, rotacional, divergente, e o Laplaciano de diversos objetos.

Dado um operador diferencial linear ${\displaystyle T}$

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$,

o adjunto desse operador é definido como o operador ${\displaystyle T^{*}}$ tal que

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

onde a notação ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ é usada para o produto escalar ou produto interno. Esta definição portanto depende da definição de produto escalar.

No espaço funcional de funções quadrado-integráveis, o produto escalar é definido como

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,}$

onde ${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$ é o par conjugado complexo de g(x). Se mais do que isso é adicionada a condição de que f ou g desaparece quando ${\displaystyle x\to a}$ e ${\displaystyle x\to b}$, pode-se definir o adjunto de T como

${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,}$

Essa fórmula não depende explicitamente da definição de produto escalar. Ela é, portanto, às vezes escolhida como a definição de operador adjunto. Quando ${\displaystyle T^{*}}$ é definido por essa fórmula, é chamado de adjunto formal de T. Um operador autoadjunto (formal) é um operador igual ao seu próprio adjunto (formal).

Se Ω é o domínio em Rⁿ, e P um operador diferencial em Ω, então o adjunto de P é definido no Espaço Lp L²(Ω) por dualidade de maneira análoga:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

para todas as funções L² suaves f, g. Como funções suaves são densas em L² , isto define o adjunto de um subconjunto L² denso : P^* é um operador densamente definido.

O operador de Sturm-Liouville é um exemplo bem conhecido de um operador autoadjunto formal. Este operador diferencial linear de segunda ordem pode ser escrito na forma

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!}$

Essa propriedade pode ser provada usando a definição de adjunto formal acima:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

Esse operador é importante na Teoria de Sturm-Liouville, onde as funções-eigen (análogas a vetores-eigen) desse operador são consideradas.

Como consequência imediata da definição de operadores, podemos escrever

${\displaystyle D(D(y))=D(y')=y''}$.

Ou seja:

${\displaystyle D^{2}(y)=y''}$.

Generalizando, definimos

${\displaystyle D^{n}(y)=y^{(n)}}$ como a derivada de ${\displaystyle y}$ de ordem ${\displaystyle n}$, para qualquer inteiro não negativo.

Podemos agora definir um polinômio de operadores ${\displaystyle P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0}}$, onde

${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n-1},a_{n}}$ são números reais, como:

${\displaystyle (a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0})y=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y}$.

De certa forma é possível realizar operações com polinômios em D da mesma forma que se realiza com polinômios convencionais, estando bem definidas as operações de Adição, Subtração e Multiplicação, como mostrado a seguir:

Sejam ${\displaystyle P(D)}$ e ${\displaystyle Q(D)}$ polinômios em ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle f}$ uma função infinitamente diferenciável. Definimos:

1. ${\displaystyle (P(D)+Q(D))f=P(D)f+Q(D)f}$
2. ${\displaystyle (\alpha P(D))f=\alpha P(D)f}$
3. ${\displaystyle P(D)(Q(D)f)=P(D)Q(D)f}$

Observação: a operação de Multiplicação é comutativa, ou seja, ${\displaystyle P(D)Q(D)=Q(D)P(D)}$.

Sistemas de equações diferenciais não muito complexos podem ser resolvidos com Operadores Diferenciais, visto a praticidade de se representar equações diferenciais com os mesmos, e pelo fato de se poder operá-los como polinômios convencionais, ou seja, pode-se operar polinômios em ${\displaystyle D}$ como se fossem coeficientes constantes. No entanto, deve-se lembrar que a operação de Divisão de Operadores não foi definida, logo não se deve dividir operadores diferenciais nos métodos em que estes são úteis para sistemas de equações.

Seja R um anel, e ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis D e X, e ${\displaystyle I}$ o ideal dual gerado por DX-XD-1, então o anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes em R é o anel quociente ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$. Esse é um anel não-comutativo simples. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma ${\displaystyle X^{a}D^{b}\mod {I}}$. Ele suporta um análogo da divisão Euclidiana de polinômios. Módulos diferenciais em ${\displaystyle R[X]}$ (para a derivação padrão) podem ser identificados com módulos em ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$.

Seja R um anel, e ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$, e ${\displaystyle I}$ o ideal dual gerado pelos elementos ${\displaystyle D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$para todo ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ onde ${\displaystyle \delta }$ é o delta de Kronecker, então o anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes em R é o anel quociente ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I.}$Esse é um anel não-comutativo. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}.}$

Em geometria diferencial e geometria algébrica, é geralmente conveniente ter uma descrição de operadores diferenciais independente de coordenadas entre dois fibrados vetoriais. Sejam E e F dois fibrados vetoriais em uma superfície diferenciável M. Uma transformação R-linear de seções P: Γ(E) → Γ(F) é dita como sendo um operador diferencial linear de k-ésima ordem se ele é fatorável sobre o fibrado de jet J^k(E). Em outras palavras, existe uma transformação linear de fibrados vetoriais

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

tal que

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

onde j^k: Γ(E) →Γ(J^k(E)) é a continuação que associa a qualquer parte de E seu k-jet.

Isso significa que para uma dada seção s de E, o valor de P(s) no ponto x ∈ M é inteiramente definido na k-ésima ordem infinitesimal o comportamento de  s em x. Em particular isso implica que P(s)(x) é determinado pelo germ de s em x, que se expressa ao dizer que todos os operadores diferenciais são locais.