Teorema de Taylor

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Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se ${\displaystyle \ n}$ ≥ 0 é um inteiro e ${\displaystyle \ f}$ uma função que é derivável ${\displaystyle \ n}$ vezes no intervalo fechado [${\displaystyle \ a}$, ${\displaystyle \ x}$] e n+1 no intervalo aberto ] ${\displaystyle \ a}$, ${\displaystyle \ x}$[, então, deduz-se que:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R}$

Onde, ${\displaystyle \ n!}$ denota o fatorial de ${\displaystyle \ n}$, e ${\displaystyle \ R}$ é o resto, termo que depende de ${\displaystyle \ x}$ e é pequeno se ${\displaystyle \ x}$ está próximo ao ponto ${\displaystyle \ a}$. Existem duas expressões para ${\displaystyle \ R}$ que referem-se à continuação:

${\displaystyle R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$

onde ${\displaystyle \ a}$ e ${\displaystyle \ x}$, pertencem aos números reais, ${\displaystyle \ n}$ aos inteiros e ${\displaystyle \ \xi }$ é um número real entre ${\displaystyle \ a}$ e ${\displaystyle \ x}$.

${\displaystyle R=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt}$

Se ${\displaystyle \ R}$ é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções ${\displaystyle \ f(x)}$, pode-se provar que o resto, ${\displaystyle \ R}$, aproxima-se de zero quando ${\displaystyle \ n}$ aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto ${\displaystyle \ a}$ e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com ${\displaystyle \ R}$ expresso da segunda forma é também válido se a função ${\displaystyle \ f}$ tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em R^N de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho ${\displaystyle {\bar {B}}}$, possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer ${\displaystyle x\in B}$, temos

${\displaystyle f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }}$

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

${\displaystyle |R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|}$

para todo α onde |α| = n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

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