Série de potências

Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro ${\displaystyle x}$, da seguinte forma:

${\displaystyle S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

o número ${\displaystyle x_{0}}$, a sequência ${\displaystyle a_{n}}$ e o parâmetro ${\displaystyle x}$ podem ser em geral números complexos. ^[1]

A convergência da série de potências depende da distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x_{0}}$ no plano complexo:

${\displaystyle |x-x_{0}|}$

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.^[2]

Newton provou o teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{3}+\ldots \,}$

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.^[3]

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função ${\displaystyle \ln(1+x)\,}$.^[3]

Uma função analítica num ponto ${\displaystyle x_{0}}$ é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.^[1] Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

as derivadas de ${\displaystyle f}$ calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}=a_{1}+2a_{2}(x-x_{0})+3a_{3}(x-x_{0})^{2}+\cdots \\&f''(x)=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}(x-x_{0})^{n-2}=2a_{2}+6a_{3}(x-x_{0})+12a_{4}(x-x_{0})^{2}+\cdots \end{aligned}}}$

Se substituirmos ${\displaystyle x=x_{0}}$ nas séries para ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f'}$ e ${\displaystyle f''}$ vemos que:

${\displaystyle a_{0}=f(x_{0})\qquad a_{1}=f'(x_{0})\qquad 2a_{2}=f''(x_{0})}$

em geral,

${\displaystyle n!a_{n}=f^{(n)}(x_{0})}$

e a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ escreve-se:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

No caso particular ${\displaystyle x_{0}=0}$ obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre ${\displaystyle x_{0}}$ e o ponto singular de ${\displaystyle f}$ mais próximo.^[1]

• Série geométrica

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$

 para x, em valor absoluto, menor que 1.

• Função exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

• Funções trigonométricas

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&\cos \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem

${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$

em que ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$ são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.^[1]

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio ${\displaystyle P(x)}$. Se o ponto ${\displaystyle x=0}$ não for raiz de ${\displaystyle P(x)}$, a solução da equação diferencial será uma função analítica em ${\displaystyle x=0}$ e, portanto, existirá a série de Maclaurin para a solução ${\displaystyle y(x)}$:

${\displaystyle y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência ${\displaystyle a_{n}}$. A equação de diferenças que define a sequência ${\displaystyle a_{n}}$ é obtida por substituição da série de Maclaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.^[1]

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:

${\displaystyle y''=xy}$

O polinômio ${\displaystyle P}$ é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em ${\displaystyle x=0}$ e poderá ser escrita como uma série de Maclaurin:

${\displaystyle y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

A segunda derivada é:

${\displaystyle y''(x)=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$

e substituindo na equação diferencial

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0}$

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice ${\displaystyle n}$, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial

${\displaystyle \sum _{n=-3}^{\infty }(n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0}$

Na primeira série os dois primeiros termos (${\displaystyle n=-3}$ e ${\displaystyle n=-2}$) são nulos e o terceiro termo (${\displaystyle n=-1}$) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde ${\displaystyle n=0}$, podendo ser agrupada à segunda série:

${\displaystyle 2a_{2}+\sum _{n=0}^{\infty }[(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n}]x^{n+1}=0}$

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é ${\displaystyle 2a_{2}}$ e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto ${\displaystyle x}$, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:

${\displaystyle 2a_{2}=0}$

${\displaystyle \color {Blue}{(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n}=0\qquad (n=0,1,2,\ldots )}}$

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como ${\displaystyle a_{2}=0}$, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para ${\displaystyle n=3m}$, definindo ${\displaystyle u_{m}=a_{3m}}$ obtemos:

${\displaystyle \color {Red}{9(m+1)(m+2/3)u_{m+1}-u_{m}=0}}$

em termos de fatoriais e funções gama temos:

${\displaystyle (m+1)(m+2/3)={\frac {(m+1)!\Gamma (m+5/3)}{m!\Gamma (m+2/3)}}}$

Usando a substituição:

${\displaystyle x_{m}=m!\Gamma (m+2/3)u_{m}}$

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

${\displaystyle 9x_{m+1}-x_{m}=0}$

A solução pode agora ser obtida facilmente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{m}&=&{\frac {x_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m}&=&u_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}a_{0}\end{aligned}}}$

Para calcular a sequência correspondente a ${\displaystyle n=3m+1}$, procedemos em forma semelhante. Em função de ${\displaystyle v_{m}=a_{3m+1}}$, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:

${\displaystyle 9(m+1)(m+4/3)v_{m+1}-v_{m}=0}$

e com a substituição

${\displaystyle z_{m}=m!\Gamma (m+4/3)v_{m}}$

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

${\displaystyle 9z_{m+1}-z_{m}=0}$

com solução:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{m}&=&{\frac {z_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m+1}&=&v_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)a_{1}}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}\end{aligned}}}$

Finalmente, substituimos ${\displaystyle a_{n}}$ na série de Maclaurin para obter a solução da equação diferencial:

${\displaystyle y(x)=a_{0}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}x^{3m}+a_{1}x\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}x^{3m}}$

onde ${\displaystyle a_{0}}$ e ${\displaystyle a_{1}}$ são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ em ${\displaystyle x=0}$). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de Maclaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge (${\displaystyle a_{0}}$ é o valor da série quando ${\displaystyle x=x_{0}}$); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência (${\displaystyle R}$) e calcula-se a partir de:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}R^{n+1}}{a_{n}R^{n}}}=1\quad \Rightarrow \quad R=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$