Teorema de Green

Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua fronteira.^[1] Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes.

Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D,^[2] então:

${\displaystyle \int _{C}(Pdx+Qdy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dA}$

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta é representada por:

${\displaystyle \oint _{C}(Pdx+Qdy)}$

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.^[3]

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constante e igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial ${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q,0)}$. Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

${\displaystyle \oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\oint _{C}(P,Q,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$

A superfície ${\displaystyle S}$ é simplesmente a região no plano ${\displaystyle D}$, com o vetor normal unitário ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ apontando na direção positiva de z, de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas (Green e Stokes). Logo, se verifica ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k} }$.

Desse modo, a expressão dentro da integral fica:

${\displaystyle \nabla \ \times \ \mathbf {F} \ \cdot \ \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).}$

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green:

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA.}$

Outro modo de análise se dá pelo teorema da divergência, o qual pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de um caso especial do teorema de Stokes. Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green.^[3]

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds,}$ onde ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser ${\displaystyle (dy,-dx)}$. O módulo de este vetor é ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds}$. Portanto ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds=(dy,-dx)}$.

Tomando as componentes de ${\displaystyle \mathbf {F} =(Q,-P)}$, o lado direito se converte em

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds{\mbox{ }}=\int _{C}(Q,-P)\cdot (dy,-dx)=\int _{C}(Q{\mbox{ }}dy+P{\mbox{ }}dx)}$

que por meio do teorema de Green resulta em:

${\displaystyle \int _{C}(P{\mbox{ }}dx{\mbox{ }}+{\mbox{ }}Q{\mbox{ }}dy)=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (Q,-P)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA}$

A utilização do teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja ${\displaystyle D}$ um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e seja ${\displaystyle C=\partial D}$ a fronteira, orientada positivamente em relação a ${\displaystyle D}$. Temos:^[4]

$${\displaystyle {\mathcal {A(D)}}=\iint _{\mathcal {D}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {C}}x\mathrm {d} y=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y}$$

e tendo respectivamente ${\displaystyle P\left(x,y\right)=-y}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=0}$, ou ${\displaystyle P\left(x,y\right)=0}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=x}$, ou enfim ${\displaystyle P\left(x,y\right)=-y/2}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=x/2}$, cada um desses três casos verifica que ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1.}$

Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por:

$${\displaystyle t\mapsto \left(a\cos {t},b\sin {t}\right)}$$

Onde t pertence aos reais e variando de 0 até 2π.

Temos:

${\displaystyle P\left(x,y\right)\,\mathrm {d} x=-{\frac {y}{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {b\sin(t)}{2}}a\sin(t)\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q\left(x,y\right)\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {a\cos(t)}{2}}b\cos(t)\,\mathrm {d} t}$

Obtendo:

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }{\frac {ab}{2}}\mathrm {d} t=\pi ab.}$$

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.