Fatorial

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Fatoriais selecionados; valores em notação científica são arredondados

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	7003504000000000000♠5040
8	7004403200000000000♠40320
9	7005362880000000000♠362880
10	7006362880000000000♠3628800
11	7007399168000000000♠39916800
12	7008479001600000000♠479001600
13	7009622702080000000♠6227020800
14	7010871782912000000♠87178291200
15	7012130767436800000♠1307674368000
16	7013209227898880000♠20922789888000
17	7014355687428096000♠355687428096000
18	7015640237370572800♠6402373705728000
19	7017121645100408832♠121645100408832000
20	7018243290200817664♠2432902008176640000
25	7025155112100400000♠1.551121004×1025
50	7064304140932000000♠3.041409320×1064
70	7100119785716700000♠1.197857167×10100
100	7157933262154400000♠9.332621544×10157
450	9000000000000000000♠1.733368733×101000
7003100000000000000♠1000	9000000000000000000♠4.023872601×102567
7003324900000000000♠3249	9000000000000000000♠6.412337688×1010000
7004100000000000000♠10000	9000000000000000000♠2.846259681×1035659
7004252060000000000♠25206	9000000000000000000♠1.205703438×10100000
7005100000000000000♠100000	9000000000000000000♠2.824229408×10456573
7005205023000000000♠205023	9000000000000000000♠2.503898932×101000004
7006100000000000000♠1000000	9000000000000000000♠8.263931688×105565708
7100100000000000000♠10100	107101995657055180894♠10101.9981097754820

Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, denotado por n!, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a n. O fatorial de n também é igual ao produto de n e o fatorial de seu antecessor: $${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}}$$ Por exemplo, $${\displaystyle 5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.}$$ O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.^[1]

Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de n distintos objetos: existem n!. Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.

Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).

Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.

A função fatorial é normalmente definida por:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1,\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

Por exemplo, ${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120}$. Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n!}$, pode ser definido pelo produto de ${\displaystyle n}$ com o fatorial de seu antecessor. Logo, ${\displaystyle 5!=5\times 4!=120}$. De forma geral:

${\displaystyle n!=n\times (n-1)!}$

que pode ser reescrito da seguinte forma:

${\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}$

Portanto:

${\displaystyle 3!={\frac {4!}{4}}={\frac {4\times 3!}{4}}=6}$

${\displaystyle 2!={\frac {3!}{3}}={\frac {3\times 2!}{3}}=2}$

${\displaystyle 1!={\frac {2!}{2}}={\frac {2\times 1}{2}}=1}$

Esta definição implica em particular que ${\displaystyle 0!=1}$, pois

${\displaystyle 0!={\frac {1!}{1}}={\frac {1}{1}}=1}$

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}$

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 040, 40 320, 362 880, 3 628 800...

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.}$

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xⁿ é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10¹⁰⁰.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

${\displaystyle \left({n \over 3}\right)^{n}<n!<\left({n \over 2}\right)^{n}\ {\mbox{se}}\ n\geq 6.}$

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}{\ln(k)}}$

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator ${\displaystyle {\ln(n!)} \over n}$ cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

${\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n)}{2}}+{\frac {\ln(2\pi )}{2}}.}$

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

Ver artigo principal: Função gama

A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:

${\displaystyle n!=n(n-1)!}$

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}$

Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,n\geq 1.}$

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:

• Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
• Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
• Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).

Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{se }}n=0{\mbox{ ou }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{se }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:

${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}$

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}$

${\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}$

${\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}}$

Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!^(k), é definido recursivamente como

${\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}$

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

${\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}$

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...

A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

${\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}$

No geral,

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}$

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequência A000178 na OEIS)

Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (sequência A055462 na OEIS)

e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

${\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}}$

onde ${\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n}$ para ${\displaystyle n>0}$ e ${\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1}$.

Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como

${\displaystyle n\$=n^{(4)}n}$

onde a notação científica ⁽⁴⁾ denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

${\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!)}$

Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:

${\displaystyle 1\$=1}$

${\displaystyle 2\$=2^{2}=4}$

${\displaystyle 3\$=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}$

A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java

int fatorial (int numero) {
    return numero == 0 ? 1 : numero * fatorial(numero - 1);
}

int fatorial (int numero) {
    int resultado = numero;
    if (numero == 0) resultado++;
    while (numero > 1) resultado *= --numero;
    return resultado;
}

• Função digama
• Função gama
• Fórmula de Stirling
• Desarranjo
• Número triangular