Spazio omogeneo

In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Uno spazio omogeneo è una tripla ${\displaystyle (X,G,\rho )}$ formata da un insieme ${\displaystyle X}$, un gruppo ${\displaystyle G}$ e un'azione

${\displaystyle \rho \colon G\to {\rm {Aut}}(X)}$

che associa ad un elemento ${\displaystyle g}$ del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione) ${\displaystyle \rho (g)}$ di ${\displaystyle X}$. L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia ${\displaystyle x,y}$ di elementi di ${\displaystyle X}$ deve esistere almeno un elemento ${\displaystyle g}$ tale che ${\displaystyle \rho (g)(x)=y}$.

Se l'insieme ${\displaystyle X}$ è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in ${\displaystyle {\rm {Aut}}(X)}$ preservino questa struttura. Ad esempio:

• Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio topologico, gli automorfismi sono omeomorfismi,
• Se ${\displaystyle X}$ è una varietà differenziabile, gli automorfismi sono diffeomorfismi,
• Se ${\displaystyle X}$ è una varietà riemanniana o un più generale spazio metrico, gli automorfismi sono isometrie.

Poiché per ogni coppia di punti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ esiste un automorfismo che manda ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle y}$, i punti di ${\displaystyle X}$ sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza ${\displaystyle X}$, con il gruppo ${\displaystyle G}$ delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto ${\displaystyle x}$ in un punto dato ${\displaystyle y}$. D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

La sfera ${\displaystyle S^{n}}$ di dimensione ${\displaystyle n}$ è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale ${\displaystyle G=O(n+1)}$: tale gruppo agisce su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante ${\displaystyle K}$, rispettivamente con ${\displaystyle K>0}$ (la sfera) ${\displaystyle K=0}$ (il piano) e ${\displaystyle K<0}$ (lo spazio iperbolico).

Lo spazio proiettivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K)}$, definito su un campo ${\displaystyle K}$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo ${\displaystyle G}$ delle proprie proiettività.

Lo spazio affine ${\displaystyle E^{n}}$ è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.

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