Nerbo (matematica)

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Nella teoria degli insiemi, il nerbo è un oggetto associato ad un ricoprimento. Si tratta di uno schema simpliciale che contiene le informazioni sulle incidenze degli insiemi del ricoprimento.

Tale concetto è particolarmente utile in topologia perché può permettere (se sono verificate opportune ipotesi) di descrivere con sufficiente precisione uno spazio topologico tramite un oggetto combinatorio.

Dato un insieme ${\displaystyle X}$ e un suo ricoprimento

${\displaystyle \mathbb {U} =\left(U_{i}\right)_{i\in I}}$

(I è una famiglia qualsiasi di indici), ossia una collezione di insiemi tali che

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=X,}$

il nerbo di ${\displaystyle X}$ è lo schema simpliciale associato allo spazio come segue: indicato con

${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbb {U} \right)=\left(K,I\right)}$

lo schema si ha

${\displaystyle \left\{i_{0},i_{1},\dots ,i_{k}\right\}\in K\Longleftrightarrow U_{i_{0}}\cap U_{i_{1}}\cap \dots \cap U_{i_{k}}\neq \varnothing .}$

Il concetto di nerbo risulta avere importanti applicazioni in topologia algebrica. In questo contesto, ${\displaystyle X}$ è uno spazio topologico e ${\displaystyle \mathbb {U} }$ è un suo ricoprimento aperto. Il nerbo dipende fortemente dal ricoprimento scelto. Tuttavia, se il ricoprimento è sufficientemente "buono" allora ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbb {U} \right)}$ risulta essere una buona approssimazione di ${\displaystyle X}$: ad esempio, può essere omotopicamente equivalente ad ${\displaystyle X}$, oppure avere la stessa omologia.

• Ricoprimento
• Complesso simpliciale

• (EN) Eric W. Weisstein, Nerbo, su MathWorld, Wolfram Research.

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