Retrazione

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In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ su un sottoinsieme ${\displaystyle A}$.

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme ${\displaystyle A}$ è un retratto per deformazione di ${\displaystyle X}$ e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico e ${\displaystyle A}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$. Una funzione continua

${\displaystyle r:X\to A}$

è un retrazione di ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle A}$ se la sua restrizione ai punti di ${\displaystyle A}$ è la funzione identità, ovvero se

${\displaystyle r(a)=a\ \forall a\in A.}$

Un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ è un retratto di ${\displaystyle X}$ se esiste una retrazione di ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle A}$.

Una funzione continua

${\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}$

è una retrazione per deformazione di ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle A}$ se sono soddisfatte le relazioni seguenti

${\displaystyle F(x,0)=x,\;F(a,1)=a,\;F(x,1)\in A.}$

per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ e ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$. In altre parole, una retrazione per deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su ${\displaystyle X}$.

Un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ è un retratto per deformazione di ${\displaystyle X}$ se esiste una retrazione di deformazione di ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle A}$.

Infine, una retrazione per deformazione ${\displaystyle F}$ si dice forte se

${\displaystyle F(a,t)=a}$

per ogni ${\displaystyle t}$ in ${\displaystyle [0,1]}$. In altre parole, la deformazione non muove i punti in ${\displaystyle A}$. In questo caso ${\displaystyle A}$ è un retratto per deformazione forte.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio qualsiasi e ${\displaystyle x_{0}}$ un punto. La funzione costante

${\displaystyle f:X\to \{x_{0}\}\,\!}$

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di ${\displaystyle X}$ e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

Sia ${\displaystyle X}$ un sottoinsieme convesso di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La funzione

${\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}$

${\displaystyle F:(x,t)\mapsto (1-t)x\,\!}$

è una retrazione per deformazione di ${\displaystyle X}$ sull'origine ${\displaystyle A=\{0\}}$.

Una retrazione

${\displaystyle r:X\to A}$

manda ogni componente connessa ${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle X}$ in un sottoinsieme connesso di ${\displaystyle C}$.

Se ${\displaystyle X}$ è connesso per archi, anche ${\displaystyle A}$ lo è e l'omomorfismo indotto

${\displaystyle r_{*}:\pi (X)\to \pi (A)}$

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

${\displaystyle i:A\to X}$

induce una funzione iniettiva

${\displaystyle i_{*}:\pi (A)\to \pi (X).}$

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

${\displaystyle r\circ i:A\to A}$

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

${\displaystyle (r\circ i)_{*}=r_{*}\circ i_{*}:\pi (A)\to \pi (A).}$

Poiché questo è composizione degli omomorfismi ${\displaystyle i_{*}}$ e ${\displaystyle r_{*}}$, il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

Se la retrazione ${\displaystyle r}$ è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle A}$. In particolare, le mappe ${\displaystyle r_{*}}$ e ${\displaystyle i_{*}}$ sono entrambe isomorfismi.

Non esistono retrazioni

${\displaystyle r:D^{n}\to S^{n-1}=\partial D^{n}}$

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

${\displaystyle r_{*}:\pi _{n-1}(D^{n})\to \pi _{n-1}(S^{n-1})}$

sull'${\displaystyle (n-1)}$-esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

${\displaystyle \pi _{n-1}(D^{n})=\{e\},\quad \pi _{n-1}(S^{n-1})=\mathbb {Z} .}$

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

• (EN) Eric W. Weisstein, Retrazione, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Retrazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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