Spazio di Cantor

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In topologia, uno spazio di Cantor è uno spazio topologico omeomorfo all'insieme di Cantor; gli spazi di Cantor costituiscono pertanto una generalizzazione delle proprietà topologiche dell'insieme di Cantor stesso.

Il modello canonico utilizzato per la descrizione degli spazi di Cantor è il prodotto topologico di una quantità numerabile di copie dello spazio discreto a due elementi:

${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }\{0,1\}}$.

Tale spazio è usualmente indicato con ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$ o ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\omega }}$, e viene utilizzato come modello degli spazi di Cantor perché da esso è semplice dedurre le proprietà topologiche degli spazi stessi. Un elemento di ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$ si può identificare come una sequenza binaria infinita, ovvero una sequenza senza termine

${\displaystyle a=a_{1}a_{2}a_{3}\ldots }$,

in cui ciascuna cifra ${\displaystyle a_{i}}$ assume i valori 0 o 1.

Data una sequenza ${\displaystyle a}$, la funzione

${\displaystyle f(a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}}$

è un omeomorfismo tra l'insieme di Cantor e l'insieme ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$.

Uno spazio topologico è di Cantor se e solo se possiede le seguenti proprietà:

• non è vuoto;
• è perfetto (ovvero ogni suo punto è punto di accumulazione, o equivalentemente non possiede punti isolati);
• è compatto;
• è totalmente sconnesso, ovvero ogni suo punto è un insieme chiuso e costituisce una componente connessa;
• è metrizzabile.

Questa caratterizzazione è conseguenza diretta del seguente teorema (dovuto a Brouwer), secondo cui due spazi di Hausdorff compatti, perfetti e dotati di una base numerabile costituita da chiusi-aperti sono omeomorfi tra di loro. Le proprietà sopra indicate sono facilmente verificabili per l'insieme di Cantor^[1].

Da questa caratterizzazione discendono immediatamente alcune proprietà; ad esempio, gli spazi di Cantor hanno tutti la cardinalità del continuo; inoltre, il prodotto cartesiano di una quantità numerabile di spazi di Cantor è ancora uno spazio di Cantor. Utilizzando quest'ultima proprietà e la funzione di Cantor è possibile costruire le curve di Peano.

Ogni spazio metrico completo e perfetto possiede degli spazi di Cantor come sottospazi; infatti, in questi spazi ogni insieme non vuoto e perfetto contiene almeno due sottoinsiemi perfetti disgiunti, di diametro piccolo a piacere, per cui è possibile ripetere una costruzione analoga a quella dell'insieme di Cantor.

• (EN) Alexander Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer, 1995, ISBN 0-387-94374-9.

• Georg Cantor
• Polvere di Cantor

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