Arco (topologia)

In matematica, un arco (o cammino) in uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è una funzione continua dall'intervallo unitario ${\displaystyle I=[0,1]}$ in ${\displaystyle X}$.

Gli archi sono alla base della definizione del gruppo fondamentale, e quindi della topologia algebrica.

Il punto iniziale dell'arco è ${\displaystyle f(0)}$, mentre il punto finale è ${\displaystyle f(1)}$. Se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono due punti di ${\displaystyle X}$ (anche coincidenti), un "arco da ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$" è un arco in ${\displaystyle X}$ il cui punto iniziale è ${\displaystyle x}$ e il cui punto finale è ${\displaystyle y}$. Se ${\displaystyle x=y}$, si parla di cammino chiuso, o di cappio o di laccio.

Notiamo che un arco non è solamente un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$, ma una funzione da ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle X}$: possono esistere archi diversi ma con lo stesso punto iniziale e finale e con la stessa immagine.

Uno spazio topologico in cui per ogni coppia ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ di punti esiste un arco avente questi come punti iniziale e finale è detto connesso per archi; poiché ogni punto è contenuto in un massimo sottospazio connesso per archi, ogni spazio topologico può essere decomposto in modo unico in componenti connesse per archi. L'insieme delle componenti connesse per archi di ${\displaystyle X}$ viene denotato con il simbolo ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$.

Due archi ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle x}$ tali che ${\displaystyle f(1)=g(0)}$ possono essere composti, dando luogo ad un nuovo arco ${\displaystyle h=f\ast g}$, che può essere visto come l'arco ottenuto percorrendo prima ${\displaystyle f}$ e poi ${\displaystyle g}$: formalmente, ${\displaystyle h}$ è la funzione da ${\displaystyle [0,1]}$ a ${\displaystyle X}$ tale che

${\displaystyle h(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$.

Questa operazione non è associativa: infatti, ${\displaystyle (f\ast g)\ast h}$ e ${\displaystyle f\ast (g\ast h)}$ hanno lo stesso supporto, ma viaggiano a "velocità diverse": la prima percorre ${\displaystyle f}$ in un tempo ¼, quindi ${\displaystyle g}$ in un altro ¼, e ${\displaystyle h}$ in tempo 1/2; la seconda invece percorre ${\displaystyle f}$ in tempo ${\displaystyle 1/2}$ e le altre due ciascuna in tempo ${\displaystyle 1/4}$.

Per risolvere questo problema si introduce la relazione di equivalenza omotopica tra archi, che permette tra l'altro di riparametrizzare gli archi. L'insieme dei cammini chiusi con punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$, modulo omotopia, è chiamato gruppo fondamentale di ${\displaystyle X}$ con base ${\displaystyle x_{0}}$, ed è denotato con ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$; se ${\displaystyle X}$ è connesso per archi allora la classe di isomorfismo di questo gruppo non dipende dal punto ${\displaystyle x_{0}}$ scelto.

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

• Spazio connesso per archi
• Spazio semplicemente connesso
• Omotopia
• Gruppo fondamentale

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