Germe di funzione

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In matematica, un germe di funzione (continua, differenziabile o analitica) è una classe di equivalenza di funzioni (continue. differenziabili o analitiche) da uno spazio topologico a un altro (spesso dalla retta reale a se stessa), raggruppate insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato sul loro dominio di definizione. Allo stesso modo, un germe di insiemi è una classe di equivalenza di sottoinsiemi di un dato spazio topologico, raggruppati insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato appartenente alla loro intersezione.

Due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ tra lo stesso spazio topologico ${\displaystyle X}$ e un insieme ${\displaystyle Y}$ si dicono equivalenti vicino a un punto ${\displaystyle x}$ nel loro dominio, se esiste un intorno aperto ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ su cui coincidono, cioè

${\displaystyle f(x')=g(x')\quad \forall x'\in U\iff f|_{U}=g|_{U}\iff f\sim _{x}g.}$

Questa è una relazione di equivalenza sullo spazio ${\displaystyle Y^{X}={\mbox{Hom}}(X,Y)}$ delle mappe tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Per la dimostrazione, è sufficiente notare che l'uguaglianza è usata nella sua definizione: allora la riflessività e la simmetria sono conseguenze immediate. Per la transitività, date le funzioni ${\displaystyle f,g,h}$ tali che ${\displaystyle f=g}$ su ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle g=h}$ su ${\displaystyle V}$, allora ${\displaystyle f=g=h}$ su ${\displaystyle U}$ ∩ ${\displaystyle V}$.

Le singole classi di equivalenza si dicono germi di funzioni nel punto ${\displaystyle x}$ e saranno della forma

${\displaystyle [f]_{x}=\left\{g\in Y^{X}\mid f\sim _{x}g\right\}.}$

Lo spazio dei germi di funzioni si dice una fibra di funzioni in ${\displaystyle x}$.

• Nicolas Bourbaki, General Topology. Chapters 1-4, paperback ed., Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64241-2.
• Raghavan Narsimhan, Analysis on Real and Complex Manifolds, 2nd ed., chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions"., North-Holland Elsevier, 1973, ISBN 0-7204-2501-8.
• Robert C. Gunning and Hugo Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, 1965.
• Giuseppe Tallini, Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Differentiable manifolds and De Rham cohomology), Edizioni Cremonese, 1973, ISBN 88-7083-413-1.

• Fascio (teoria delle categorie)
• Varietà analitica
• Superficie di Riemann

• Evgeniǐ Mikhaǐlovich Chirka "Germ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• "Germ of smooth functions Archiviato il 24 giugno 2008 in Internet Archive.", Planetmath.org Encyclopedia.
• Dorota Mozyrska, Zbigniew Bartosiewicz"Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces", arxiv.org e-Prints server (Primary site at Cornell University).

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