Insieme derivato

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In matematica, e in particolare in topologia generale, l'insieme derivato di un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di uno spazio topologico è l'insieme di tutti i punti di accumulazione di ${\displaystyle S}$. Di solito è indicato con ${\displaystyle S'}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}S}$ o ${\displaystyle D(S)}$.

Il concetto di insieme derivato fu introdotto da Georg Cantor nel 1872. Egli sviluppò la teoria degli insiemi principalmente per studiare gli insiemi derivati nella retta reale.

Un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di uno spazio topologico è chiuso quando ${\displaystyle S'\subseteq S}$, cioè quando ${\displaystyle S}$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Due sottoinsiemi ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ sono separati quando sono disgiunti e ognuno è disgiunto dall'insieme derivato dell'altro (sebbene gli insiemi derivati potrebbero non essere disgiunti tra loro).

L'insieme ${\displaystyle S}$ è detto perfetto se ${\displaystyle S'=S}$, o equivalentemente un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati. Gli insiemi perfetti sono particolarmente importanti nelle applicazioni del teorema della categoria di Baire.

Due spazi topologici sono omeomorfi se e solo se esiste una biiezione da uno all'altro tale che l'insieme derivato dell'immagine di ogni sottoinsieme è l'immagine dell'insieme derivato di quell'insieme, cioè

${\displaystyle D(f(S))=f(D(S))}$.

Poiché gli omeomorfismi possono essere descritti interamente in termini di insiemi derivati, gli insiemi derivati sono stati usati come nozione primitiva in topologia. Un insieme di punti ${\displaystyle X}$ può essere dotato con un operatore ${\displaystyle ^{*}}$ che manda sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$ in sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$ e tale che per ogni sottoinsieme ${\displaystyle S}$ e ogni punto ${\displaystyle x}$ si abbia

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing ;}$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*};}$
3. ${\displaystyle x\in S^{*}\implies x\in (S\setminus \{x\})^{*};}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*};}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T\implies S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Poiché data la 5, la 3 è equivalente alla 3' sotto, e poiché la 4 e la 5 sono equivalenti alla 4' sotto, si hanno i seguenti assiomi equivalenti:

• 1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing ;}$
• 2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*};}$
• 3'. ${\displaystyle S^{*}=(S\setminus \{x\})^{*};}$
• 4'. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}=S^{*}\cup T^{*}.}$

Diciamo che un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ è chiuso se ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ e in questo modo definiamo una topologia su ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle S^{*}=S'}$, cioè ${\displaystyle ^{*}}$ è l'operatore insieme derivato. Se imponiamo anche che l'insieme derivato di un singoletto sia l'insieme vuoto, allora lo spazio risultante sarà uno spazio di Hausdorff. Infatti 2 e 3' potrebbero non essere veri in uno spazio che non è di Hausdorff.

• Punto di accumulazione
• Punto isolato
• Frontiera (topologia)
• Insieme perfetto
• Insieme limite

• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme derivato, su MathWorld, Wolfram Research.

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