Persegi

Bangun poligon segi-empat disebut sebagai persegi jika dan hanya jika bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:^[2][3]

• Persegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
• Belah ketupat dengan sudut siku-siku
• Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
• Jajar genjang yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
• Poligon segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
• Poligon dengan semua diagonalnya sama panjang, saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)

• Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutan a, b, c, dan d, yang luasnya ${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$ ^{[4]:Corollary 15}

Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung): belah ketupat (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), layang-layang (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), trapesium (sepasang sisi berhadapan sejajar), jajar genjang (semua sisi berhadapan sejajar), persegi panjang (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:^[5]

• Semua sudut dalam dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
• Sudut pusat dari persegi sama dengan 90° (360°/4).

• Sudut luar dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
• Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
• Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
• Semua sisi dari persegi sama besar
• Semua sisi yang saling berhadapan sejajar

 

Keliling dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang ${\displaystyle \ell }$  adalah $${\displaystyle K=4\ell }$$ dan luasnya^[1] adalah $${\displaystyle L=\ell ^{2}.}$$ Pada zaman klasik, konsep kuadrat (pangkat dua) dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalam bahasa Inggris, ini menyebabkan penggunaan istilah square (persegi) untuk mengartikan kuadrat.

Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonal d, menggunakan rumus$${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{2}}.}$$ Jika menggunakan lingkaran luar persegi dengan jari-jari ${\displaystyle R,}$  luas persegi dapat dituliskan sebagai$${\displaystyle L=2R^{2};}$$ Karena luas dari lingkaran tersebut adalah ${\displaystyle \pi R^{2},}$  persegi akan mengisi ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$  bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari ${\displaystyle r,}$  luas dari persegi adalah $${\displaystyle L=4r^{2};}$$ sehingga lingkaran dalam mengisi ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$  bagian dari persegi tersebut.

Karena persegi merupakan poligon reguler, bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.^[6][7] Secara lebih matematis, jika ${\displaystyle L}$  dan ${\displaystyle K}$  masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlaku pertidaksamaan isoperimetrik berikut: $${\displaystyle 16L\leq K^{2}}$$ dengan persamaan terjadi jika dan hanya jika segi-empat tersebut adalah persegi.

• Panjang diagonal dari persegi adalah ${\textstyle {\sqrt {2}}}$  (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 dan konstanta Pythagoras,^[1] adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa bilangan irasional.
• Persegi juga dapat didefinisikan sebagai jajar genjang dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
• Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
• Pengubinan persegi adalah salah satu dari tiga teselasi reguler pada bidang (bangun teselasi lainnya adalah segitiga sama sisi dan heksagon reguler).
• Persegi adalah anggota dari dua keluarga politop di dimensi dua: hiperkubus dan cross-polytope. Simbol Schläfli untuk persegi adalah ${\textstyle \{4\}}$  .
• Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis simetri refleksi, dan simetri rotasi tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). Grup simetri dari bangun ini adalah grup dihedral D₄.
• Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (inscribed) sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
• Jika lingkaran dalam dari persegi ABCD memiliki titik potong E pada sisi AB, F pada BC, G pada CD, dan H pada DA, maka untuk sebarang titik P pada lingkaran dalam tersebut,^[8] ${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$ 
• Jika ${\displaystyle d_{i}}$  adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-i dari sebangun persegi, dan ${\displaystyle R}$  adalah lingkaran luar dari persegi tersebut, maka^[9] $${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ 
• Jika ${\displaystyle L}$  dan ${\displaystyle d_{i}}$  masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan ^[10] ${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$  dan ${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$  dengan ${\displaystyle R}$  adalah lingkaran luar dari persegi tersebut.

Beberapa animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan jangka dan mistar.

 

Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.

 

Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,
sudut siku-siku dihasilkan dari teorema Thales.

 

Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan

Dalam geometri non-Euklides, persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.

Di geometri bola, persegi sferis adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur lingkaran besar dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.

Di geometri hiperbolik, tidak ada persegi dengan sudut siku-siku. Alih-alih, persegi dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut siku-siku. Persegi hiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.

 

Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (tile) pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak di lingkaran besar. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola) dihedron, dengan simbol Schläfli {4,2}.

 

Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli {4,3}.

 

Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang ${\displaystyle n\geq 5}$  ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh ${\displaystyle n}$  persegi.

 

Graf lengkap K₄ sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakan proyeksi ortografik dari simpleks-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.

• Persegi Latin

• Persegi bulat
• Squaring the square

1. ^ ^{a b c} Weisstein, Eric W. "Square". Wolfram MathWorld (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-02. 
2. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, ISBN 1-59311-695-0.
3. ^ "Problem Set 1.3". jwilson.coe.uga.edu. Diakses tanggal 2017-12-12. 
4. ^ Josefsson, Martin, "Properties of equidiagonal quadrilaterals" Diarsipkan 2022-09-27 di Wayback Machine. Forum Geometricorum, 14 (2014), 129–144.
5. ^ "Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-09-02. 
6. ^ Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
7. ^ Lundsgaard Hansen, Martin. "Vagn Lundsgaard Hansen". www2.mat.dtu.dk. Diakses tanggal 2017-12-12. 
8. ^ "Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS". gogeometry.com. Diakses tanggal 2017-12-12. 
9. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Diarsipkan 2016-10-10 di Wayback Machine.
10. ^ Meskhishvili, Mamuka (2021). "Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances" (PDF). International Journal of Geometry. 10: 58–65.