Advection

L'advection est le transport d'une quantité (scalaire ou vectorielle) d'un élément donné (tel que la chaleur, l'énergie interne, un élément chimique, des charges électriques) par le mouvement (et donc la vitesse) du milieu environnant.

C'est une notion courante en mécanique des fluides car toutes les caractéristiques d'une particule fluide sont advectées lors de son déplacement au sein de l'écoulement. Dans l'équation de Navier-Stokes, l'advection du vecteur vitesse apparaît dans le terme d'inertie, qui correspond à l'advection de la quantité de mouvement.

En météorologie et en océanographie, l'advection se réfère surtout au transport horizontal de certaines propriétés par les fluides considérés, dont le transport par le vent ou les courants : advection de vapeur d'eau, de chaleur, de salinité, etc.

Le phénomène d'advection est entièrement codé dans l'équation de conservation.

L'opérateur advection correspond au produit scalaire du vecteur vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ par le vecteur gradient (Nabla) ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}}$, en coordonnées cartésiennes.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$

où ${\displaystyle (u,v,w)}$ sont les composantes de la vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ selon les coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Cet opérateur est ensuite appliqué à la propriété considérée.

Par exemple, l'advection du vecteur vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}$ est exprimée par :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right){\overrightarrow {v}}={\begin{pmatrix}{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)u}\\\\{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)v}\\\\{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)w}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}}\\\\{u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}}\\\\{u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}}\end{pmatrix}}}$

L'advection d'une quantité vectorielle équivaut donc à appliquer l'opérateur advection sur chacune des trois composantes du vecteur, dans le cas de la vitesse :

• advection de la composante ${\displaystyle u}$  : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)u}=u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}}$
• advection de la composante ${\displaystyle v}$  : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)v}=u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}}$
• advection de la composante ${\displaystyle w}$  : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)w}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}}$

Si on considère que la répartition verticale des pressions est hydrostatique, c'est-à-dire que :

$${\displaystyle \partial p=-\rho g\partial z}$$

alors, on peut remplacer la coordonnée ${\displaystyle z}$ par la pression :

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial p}}}$

où

• ${\displaystyle \Omega =-v_{p}\rho g}$ est le déplacement vertical en coordonnées de pression ;
• ${\displaystyle p}$ est la pression ;
• ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique du fluide ;
• ${\displaystyle g}$ est l'accélération terrestre.
• et avec ${\displaystyle v_{p}(\cdot ,\cdot ,p)=v_{z}(\cdot ,\cdot ,z)}$, autrement dit, on a effectué le changement de variable ${\displaystyle z=-{\frac {1}{\rho g}}\left(p-p(z=0)\right)}$, c'est-à-dire poser ${\displaystyle v_{p}}$ telle que ${\displaystyle v_{z}(\cdot ,\cdot ,z)=v_{z}\left(\cdot ,\cdot ,{\frac {p(z=0)-p}{\rho g}}\right)=v_{p}(\cdot ,\cdot ,p)}$.

L'advection appliquée à la vitesse peut se décomposer sous la forme dite « de Lamb » :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {v}}\,\cdot \,{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\right)\,{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,{\frac {|v|^{2}}{2\,\,}}+\left({\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}\right)\wedge {\overrightarrow {v}}}$

Cela se vérifie par le calcul.

On peut alors définir :

• le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}}$, dénommé vecteur vorticité.
• le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {l}}=\left({\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}\right)\wedge {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {w}}\wedge {\overrightarrow {v}}}$, dénommé vecteur « de Lamb »

Ces définitions sont très utiles pour l'étude de la turbulence dans les fluides.

En appliquant quelques hypothèses simplificatrices (${\displaystyle c_{p}}$ constant, ${\displaystyle \rho }$ constant) la quantité de chaleur s'écrit :

${\displaystyle q=\rho c_{p}T}$

L'équation d'advection de la chaleur, c'est-à-dire l'équation qui décrit la quantité de chaleur transportée par un fluide en mouvement, s'écrit :

${\displaystyle \rho c_{p}\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\text{grad}}}\right)T=\rho c_{p}\left(u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}\right)}$

• Advection de tourbillon
• Advection géostrophique
• Advection agéostrophique
• Transfert thermique
• Chaleur (thermodynamique)
• Mécanique des fluides

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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