Théorème du rotationnel

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En analyse vectorielle, le théorème du rotationnel est un théorème qui met en relation l'intégrale de volume du rotationnel d'un champ vectoriel à l'intégrale de surface du même champ. Le théorème est le suivant :

${\displaystyle \iiint _{V}{\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {v}}\ \mathrm {d} V=-\iint _{S}{\vec {v}}\wedge \mathrm {d} {\vec {s}}}$

où ${\displaystyle S}$ est la frontière de ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \wedge }$ est le produit vectoriel et ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}}$ est dirigé vers l'extérieur.

Une autre identité remarquable met en relation l'intégrale de surface du rotationnel d'un champ vectoriel et l'intégrale curviligne (ou circulation) du même champ sur la frontière. C'est le théorème de Stokes (dont le théorème de Green est le cas particulier d'une surface plane) qui, pour une surface ${\displaystyle S}$ de ℝ³ (généralement non fermée) de frontière ${\displaystyle C}$, implique

${\displaystyle \iint _{S}{\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {v}}\ \cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\oint _{C}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}.}$

Si ${\displaystyle S}$ est fermée, ${\displaystyle C}$ est vide (ou réduit à un point) et le membre de droite est nul.

Il convient de noter que l'orientation de la surface et celle de la courbe frontière sont liées puisque le changement d'une orientation modifie le signe de l'intégrale correspondante. En fait, la relation est satisfaite lorsque ces orientations sont telles que, sur un point frontière, le vecteur tangent à la surface ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}\wedge \mathrm {d} {\vec {l}}}$ est orienté en direction de la surface.

Cette égalité peut aussi servir de définition du rotationnel^[1].

• Théorème de flux-divergence
• Théorème du gradient

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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