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[[File:גלישת עננים למכתש רמון.jpg|thumb|Le [[brouillard]] d'advection se forme lorsque de l'air en mouvement transporte de la [[Chaleur (thermodynamique)|chaleur]] et de l'[[humidité]] au-dessus d'une zone plus froide.]]

L''''advection''' est le transport d'une quantité (scalaire ou vectorielle) d'un élément donné (tel que la [[Transfert thermique|chaleur]], l'[[énergie interne]], un [[élément chimique]], des charges électriques) par le mouvement (et donc la vitesse) du milieu environnant.

C'est une notion courante en [[mécanique des fluides]] car toutes les caractéristiques d'une [[particule fluide]] sont advectées lors de son déplacement au sein de l'écoulement.
Dans [[Équations de Navier-Stokes#Expression pour les écoulements de fluides incompressibles|l'équation de Navier-Stokes]], l'advection du vecteur vitesse apparaît dans le terme d'inertie, qui correspond à l'advection de la quantité de mouvement.

En [[météorologie]] et en [[océanographie]], l'advection se réfère surtout au transport horizontal de certaines propriétés par les fluides considérés, dont le transport par le vent ou les courants : advection de vapeur d'eau, de chaleur, de [[salinité]]{{etc.}}

Le phénomène d'advection est entièrement codé dans l'[[équation de conservation]].

== Description mathématique ==
L'opérateur advection correspond au [[produit scalaire]] du vecteur vitesse <math> \overrightarrow{v}   </math> par le [[nabla|vecteur gradient (Nabla) <math> \overrightarrow\nabla   </math>]], en [[coordonnées cartésiennes]].

<center><math>\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}</math></center>

où <math>(u, v, w)</math> sont les composantes de la vitesse <math>\overrightarrow{v}</math> selon les coordonnées <math>(x, y, z)</math>.

Cet opérateur est ensuite appliqué à la propriété considérée.

=== Advection d'une quantité vectorielle ===
Par exemple, l'advection du vecteur vitesse <math>\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}
u\\v\\w\end{pmatrix}</math> est exprimée par :

<center><math>\left(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla\right)\overrightarrow{v} =
\begin{pmatrix}
{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) u} \\
\\
{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) v} \\
\\
{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) w}  \end{pmatrix}= 
\begin{pmatrix}
{u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}} \\

\\
{u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}} \\

\\
{u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}}  \end{pmatrix} 

</math></center>

L'advection d'une quantité vectorielle équivaut donc à appliquer l'opérateur advection sur chacune des trois composantes du vecteur, dans le cas de la vitesse :
* advection de la composante <math>u</math>  :     <math>{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) u}=u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}</math>
* advection de la composante <math>v</math>  :     <math>{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) v}=u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}</math>
* advection de la composante <math>w</math>  :     <math>{\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) w}=u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}</math>

== Cas spécifiques ==
=== Advection de la pression hydrostatique selon la verticale ===

Si on considère que la répartition verticale des pressions est [[hydrostatique]], c'est-à-dire que :

<math display="block">\partial p = -\rho g \partial z</math> 

alors, on peut remplacer la coordonnée <math>z</math> par la pression :

<center><math>\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + \Omega \frac{\partial}{\partial p}</math></center>
où
* <math>\Omega=-v_p \rho g</math> est le déplacement vertical en coordonnées de pression ;
* <math>p</math> est la pression ;
* <math>\rho</math> est la [[masse volumique]] du fluide ;
* <math>g</math> est l'accélération terrestre.
* et avec <math>v_p(\cdot ,\cdot ,p)=v_z(\cdot ,\cdot ,z)</math>, autrement dit, on a effectué le [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] <math>z =-\frac{1}{\rho g}\left(p-p(z=0)\right)</math>, c'est-à-dire poser <math>v_p</math> telle que <math>v_z(\cdot ,\cdot ,z)=v_z\left(\cdot ,\cdot ,\frac{p(z=0)-p}{\rho g}\right)=v_p(\cdot ,\cdot ,p)</math>.

=== Advection appliquée à la vitesse ===
L'advection appliquée à la vitesse peut se décomposer sous la forme dite « de Lamb » :
<center><math>\left(\overrightarrow{v}\,\cdot\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\right)\,\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\frac{|v|^2}{2\,\,}+ \left(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\overrightarrow{v}\right) \wedge \overrightarrow{v}</math></center>
Cela se vérifie par le calcul.

On peut alors définir :
* le vecteur <math> \overrightarrow{w}=\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\overrightarrow{v}</math>, dénommé vecteur vorticité.
* le vecteur <math> \overrightarrow{l}=\left(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\overrightarrow{v}\right) \wedge \overrightarrow{v} =\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{v}</math>, dénommé vecteur « de [[Horace Lamb|Lamb]] »

Ces définitions sont très utiles pour l'étude de la turbulence dans les fluides.

=== Advection de la quantité de chaleur (version simplifiée) ===
En appliquant quelques hypothèses simplificatrices (<math>c_p</math> constant, <math>\rho</math> constant) la quantité de [[Transfert thermique|chaleur]] s'écrit :
<center><math> q =  \rho c_p T </math></center>
L'équation d'advection de la chaleur, c'est-à-dire l'équation qui décrit la quantité de chaleur transportée par un fluide en mouvement, s'écrit :
<center><math> \rho c_p  \left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\text{grad} \right) T  = \rho c_p \left( u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y}+ w \frac{\partial T}{\partial z}\right)</math></center>

== Voir aussi ==

* [[Advection de tourbillon]]
* [[Advection géostrophique]]
* [[Advection agéostrophique]]
* [[Transfert thermique]]
* [[Chaleur (thermodynamique)]]
* [[Mécanique des fluides]]

{{Palette|Analyse vectorielle}}
{{Portail|physique|météorologie}}

[[Catégorie:Mécanique des fluides]]
[[Catégorie:Théorie météorologique]]
[[Catégorie:Océanographie]]
[[Catégorie:Équation en dynamique des fluides]]

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