Trekanttall

De fem første trekanttallene kan illustreres ved prikkene i trekantene

1		3		6		10		15		21

Man ser at hvert trekanttall Δ_n  er summen av det forrige trekanttallet Δ_n-1  pluss et linjestykke (eller «tokant») med n prikker. Derfor kan de beregnes fra rekursjonsrelasjonen

${\displaystyle \Delta _{n}=\Delta _{n-1}+n}$ 

 

med utgangspunktet at Δ₁ = 1. Det gir Δ₂ = 1 + 2 = 3, Δ₃ = Δ₂ + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 og så videre. Generelt er derfor det n-te trekanttallet gitt ved summen

${\displaystyle \Delta _{n}=1+2+3+\ldots +(n-1)+n={\frac {1}{2}}n(n+1)}$ 

da den utgjør en enkel, aritmetisk rekke. Alternativt kan dette utledes ved induksjon. Formelen er gyldig for n = 2. For n + 1 har man fra rekursjonsformelen

${\displaystyle \Delta _{n+1}={\frac {1}{2}}n(n+1)+(n+1)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$ 

som bekrefter uttrykket for Δ_n.

Dette har også et enkelt, geometrisk innhold. Hvis man kombinerer prikkene til to trekanter med Δ_n  prikker i hver, kan man lage et rektangel med sider bestående av n og n + 1 prikker. Derfor er 2Δ_n = n(n + 1) som gir formelen.

Hvis man legger sammen to trekanttall som følger etter hverandre, får man et kvadrattall. For eksempel er 3 + 6 = 9 = 3² og 10 + 15 = 25 = 5².

Det kan også vises geometrisk som illustrert i de følgende figurene hvor prikkene fra de to trekantene alltid kan kombineres til å danne et kvadrat,

4		9		16		25		36

Matematisk følger dette resultatet for addisjon av påfølgende trekanttall ved ligningen

${\displaystyle \Delta _{n-1}+\Delta _{n}={\frac {1}{2}}n(n-1)+{\frac {1}{2}}n(n+1)=n^{2}}$ 

 

På samme måte som at summen av de n første, naturlige tallene er det n-te trekanttallet, er summen av de de n første trekanttallene er nytt figurtall. I dette tilfellet er det et tetraedertall T_n  basert på et tetraeder med samme form som en pyramide. Tetraedertallene er derfor også del av en større klasse som kalles pyramidetall.

Både trekanttallene og tetraedertallene kan leses ut av Pascals trekant. Mens de første ligger på den andre linjen som går fra toppunktet i denne trekanten ned mot venstre, ligger tetraedertallene på den neste, parallelle linjen. De første er 1, 4, 10, 20, 35, etc. Mens summen av de tre første trekanttallene er 1 + 3 + 6 = 10 som er det tredje tetraedertallet, er summen av de fire første 1 + 3 + 6 + 10 = 10 + 10 = 20 som er det fjerde av disse figurtallene. Generelt har man

${\displaystyle T_{n}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\cdots +\Delta _{n-1}+\Delta _{n}}$ 

Geometrisk kan man forstå dette resultatet ved at det n-te tetraedertallet T_n  er antall prikker eller kuler i en pyramide med en likesidet trekant som grunnflate med n kuler i hver av de tre sidene. Denne flaten inneholder derfor Δ_n  kuler. I etasjen over ligger det en kule i hver fordypning til laget av kulene under, det vil si Δ_n-1  kuler. Slik fortsetter lagene i pyramiden til toppen hvor det ligger Δ₁ = 1 kule. Dette tilsvarer rekursjonssrealsjonen

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+\Delta _{n}}$ 

Ut fra plasseringen i Pascals trekant, kan det n-te trekanttallet uttrykkes ved binomialkoeffisienten som

${\displaystyle \Delta _{n}={n+1 \choose 2}={1 \over 2}n(n+1)}$ 

På samme måte er det n-te tetraedertallet

${\displaystyle T_{n}={n+2 \choose 3}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)}$ 

Summasjonsformelen for trekanttallene tilsvarer da summen

${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\cdots +\Delta _{n-1}+\Delta _{n}=\sum _{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}={n+2 \choose 3}}$ 

som er en kjent sammenheng mellom binomialkoeffisientene i Pascals trekant.

Resultatet T_n  for summen av de n første trekanttallene, kan også vises ved induksjon. Ved direkte utregning viser man at formelen er riktig for n = 2. Derfor følger det at

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}&=T_{n}+\Delta _{n+1}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)+{1 \over 2}(n+1)(n+2)\\&={1 \over 6}(n+1)(n+2)(n+3)\end{aligned}}}$ 

En indirekte konsekvens av denne summasjonsformelen er at den gir også resultatet for summen S₂(n)  av de n første kvadratene av de naturlige tallene. Denne summen utgjør også det n-te, kvadratiske pyramidetallet og følger fra

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\Delta _{k}={1 \over 2}\sum _{k=1}^{n}k(k+1)={1 \over 2}S_{2}(n)+{1 \over 2}\Delta _{n}}$ 

som gir

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{2}(n)&=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}\\&=2T_{n}-\Delta _{n}={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n\end{aligned}}}$ 

Her er den siste koeffisienten B₂ = 1/6 definert som det andre Bernoulli-tallet. For mer enn tre hundre år siden kunne Jakob Bernoulli beregne de neste av disse viktige tallene ved å summere tetraedertallene og videre på tilsvarende vis med tallene langs de neste skrålinjene i Pascals trekant.

 

På lignende måte som at summen av de n første kvadrattallene kan uttrykkes ved egenskaper til trekanttallene, kan også formelen for summen av de n første kubikktallene utledes. Betrakter man et kvadrat med høyde som er en lengdeenhet og sidelengder som er det n-te trekanttallet Δ_n  målt i denne enheten, kan det deles opp i mindre kvadrat og halv-kvadrat. Disse kan så kombineres til n kuber med sidelengder fra 1 til n. Det betyr at

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{2}}$ 

Denne berømte formelen blir vanligvis forbundet med Nikomakhos gjennom hans lærebøker i aritmetikk. Den betyr at summen

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}(n)&=\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\Delta _{n}^{2}={1 \over 4}n^{2}(n+1)^{2}\\&={1 \over 4}n^{4}+{1 \over 2}n^{3}+{1 \over 4}n^{2}\end{aligned}}}$ 

Da dette polynomet ikke inneholder et ledd som er proporsjonalt med n, betyr det ut fra definisjonen at Bernoulli-tallet B₃ = 0. Bernoulli kunne ved tilsvarende betraktninger finne den generelle formelen for summen S_p(n)  av vilkårlig store potenser k^p  av naturlige tall.

• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
• J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.

• AbeLie, Figurtall og Tallmønster, norske websider