Pyramidetall

 

Hvis P_s(k) er det k-te polygontallet for en regulær mangekant med s sider, så er det n-te pyramidetallet M_s(n)   definert ved

${\displaystyle M_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}P_{s}(k)=P_{s}(1)+P_{s}(2)+P_{s}(3)+\cdots +P_{s}(n)}$ 

som tilsvarer summen av antall kuler i hvert lag som den er bygd opp av. Det betyr at pyramidetallene også kan defineres og regnes ut fra rekursjonsrelasjonen

${\displaystyle M_{s}(n+1)=M_{s}(n)+P_{s}(n+1)}$ 

med M_s(1) = 1 som tilsvarer kulen på toppen av pyramiden. Dette gir den generell formelen

${\displaystyle M_{s}(n)={1 \over 6}(s-2)n^{3}+{1 \over 2}n^{2}-{1 \over 6}(s-5)n}$ 

som var kjent allerede for Arkimedes som brukte den til beregning av tredimensjonale volum.

Formelen kan bevises ved matematiskinduksjon. Alternativt følger den direkte fra den generelle formelen

${\displaystyle P_{s}(k)={\frac {1}{2}}(s-2)k^{2}-{\frac {1}{2}}(s-4)k}$ 

for det k-te polygontallet Fra definisjonen av pyramidetallene har man da

${\displaystyle M_{s}(n)={1 \over 2}(s-2)\sum _{k=1}^{n}k^{2}-{1 \over 2}(s-4)\sum _{k=1}^{n}k}$ 

Mens den siste summen her er n(n + 1)/2, kan den første summen av kvadratene finnes fra egenskaper ved trekanttallene. Det gir

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{s}(n)&={1 \over 2}(s-2){\Big (}{1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n{\Big )}-{1 \over 2}(s-4){\Big (}{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 2}n{\Big )}\\&={1 \over 6}(s-2)n^{3}+{1 \over 2}n^{2}-{1 \over 6}(s-5)n\end{aligned}}}$ 

I det spesielle tilfellet med en femkantet pyramide, faller det siste leddet bort slik at formelen gir

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{5}(n)&={1 \over 2}n^{2}(n+1)\\&=1,6,18,40,75,126,196,288,405,550,726,936,1183,1470,1800,2176,2601,...\end{aligned}}}$ 

som er de pentagonale pyramidetallene.

En triangulær pyramide ser ut som tetraeder. Derfor er de triangulære pyramidetallene de samme som tetraedertallene T_n  og gitt ved

${\displaystyle M_{3}(n)={1 \over 6}n(n+1)(n+2)=T_{n}={n+2 \choose 3}}$ 

De første tallene i denne klassen er dermed 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

For s = 4 finner man de kvadratiske pyramidetallene gitt ved

${\displaystyle M_{4}(n)={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n}$ 

som representerer summen av de n første kvadrattallene. Hvert av disse kan skrives som summen av to påfølgende tetraedertall da

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{4}(n)&={1 \over 6}n(n+1)(n+2+n-1)\\&=T_{n}+T_{n-1}\end{aligned}}}$ 

Dette algebariske resultatet kan også forklares geometrisk ved å dele pyramiden i to. På tilsvarende måte kan et oktaeder deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater som adskiller seg ved at den ene har en kule mindre i sidekanten. Dette kommer til uttrykk i det n-te oktaedertallet som kan skrives som

${\displaystyle O_{n}=M_{4}(n)+M_{4}(n-1)={1 \over 3}n(2n^{2}+1)}$ 

De første, kvadratiske pyramidetallene er 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, ...

• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
• R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 0-195-10519-2.
• J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.