Figurtall

Figurtall er klasser av positive heltall som kan representeres ved regelmessige, geometriske figurer eller mønstre. De mest kjente er polygontallene basert på regulære polygoner i det todimensjonale planet. Typisk representanter er trekanttallene 1, 3, 6, 10, ... som fyller opp jevnt større trekanter og kvadrattallene 1, 4, 9, 16, ... som likedan er basert på kvadratet eller den regelmessige firkanten.

En trekantet stabel med 7 kuler i hver sidekant.inneholder 28 kuler som er det syvende trekanttallet.

Nye klasser av figurtall oppstår ved å betrakte tilsvarende figurer i rom med høyere dimensjoner. For eksempel kan en likesidet trekant utvides til et tetraeder som er en regelmessig pyramide med fire hjørner i tre dimensjoner. Denne gir opphav til tetraedertallene 1, 4, 10, 20, .... De tilhører klassen av pyramidetall hvor grunnflaten i pyramiden er en regulær polygon og sideflatene er trekanter.

Med en ekstra dimensjon kan et kvadrat utvides til et heksaeder eller kube i tre dimensjoner. Den gir opphav til kubikktallene 1, 8, 27, 64, 125, ... . Hver av de fem platonske legemene danner grunnlaget for en klasse av figurtall som inngår i en enda større klasse av polyedriske tall.

I mer enn tre dimensjoner er det vanskelig å forestille seg slike geometriske figurer som generelt går under navnet polytoper. På samme måte som de platonske legemene i tre dimensjoner, er de regulære polytopene spesielt interessante i høyere dimensjoner. Storparten av de tilsvarende figurtallene kan deles inn i tre hovedklasser. Disse er basert på utvidelse av tetraederet, heksaederet og oktaederet. Mens de to siste av disse regulære polytopene kalles hyperkuber og hyperoktaeder og er duale til hverandre, gir utvidelsen av tetraedret opphav til simplekser. For denne siste gruppen finnes det ikke noe entydig navn for de tilsvarende figurtallene, men kan noe upresist omtales som simplekstall. Spesielt i fire dimensjoner finnes det tre andre regulære polytoper i tillegg til disse tre hovedklassene som opptrer i alle høyere dimensjoner.

Historie

Helt siden antikken er figurtall blitt studert. Historien beretter om pytagoreerne som forbant tall med geometriske figurer.^[1] Disse kunne illustreres ved å forme dem med steiner i sanden. Ordet kalkulere eller beregne kommer fra det latinske ordet calculus som betyr en liten stein.

I senere tid har mange av de store matematikerne beskjeftigt seg med dem. På 1600-tallet påstod Fermat at hvert positivt heltall kan skrives som en sum av maksimalt n n-polygontall. Med bruk av trekanttall betyr det maksimalt tre slike som i summen 17 = 10 + 6 + 1. Tilsvarende med kvadrattall trenges det maksimalt fire slike som for 31 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4. Lagrange beviste teoremet for kvadrattallene, mens Gauss beviste det litt senere for trekanttallene. En generelt bevis ble presentert av Cauchy i 1813.^[2]

Jakob Bernoulli brukte egenskaper ved simplekstallene som opptrer i Pascals trekant, til å utlede en generell formel for summer av potenser av naturlige tall. Dette førte til oppdagelsen av de viktige Bernoulli-tallene som er brøker. Disse viste seg senere å spille en viktig rolle i moderne tallteori.

Se også

Referanser

^ A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
^ L.E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II, AMS, Chelsea Publication, New York (1999). ISBN 978-0-8218-1934-0.

Litteratur

J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.

Eksterne lenker

Jutta Gerhard, Figurierte Zahlen - die Arithmetik der Spielsteinchen, gode websider om figurtall
Numberphile, Youtube, Perfect Shapes in Higher Dimensions, figurtall fra regulære polytoper.

[Holme-1] A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.

[Dickson-2] L.E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II, AMS, Chelsea Publication, New York (1999). ISBN 978-0-8218-1934-0.

[1]

[2]