Triangula nombro

Triangula nombro estas nombro de objektoj, kiun estas eble dismeti laŭ formo de egallatera triangulo. Evidente, ke ${\displaystyle n}$-a triangula nombro estas sumo de ${\displaystyle n}$ komencaj naturaj nombroj.

La sinsekvo de triangulaj nombroj ${\displaystyle T_{n}}$ por ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ komenciĝas tiel:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … — estas la sinsekvo (A000217 en OEIS).

La formuloj por ${\displaystyle n}$-a triangula nombro:

• ${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1)}$;
• ${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n=\sum _{j=1}^{n}j}$;
• ${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$ — estas binoma koeficiento;

Ekzemple, 2016 estas triangula nombro, ĉar: ${\displaystyle T_{63}={\frac {63\cdot 64}{2}}=2016}$.

• La rikura formulo por ${\displaystyle n}$-a triangula nombro:

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}$.

• Sumo de du sinsekvaj triangulaj nombroj estas kvadrata nombro, tio estas
• : ${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}}$.

Ekzemple:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

• Ĉiu para perfekta nombro estas triangula^[1].
• Ĉiun nenegativan entjeron eblas prezenti kiel sumo de ne pli ol tri triangulaj nombroj. La tezon unuafoje formulis Fermat en 1638 en sia letero al Mersenne, kaj ĝi estis pruvita en 1796 fare de Gauss
• La entjero ${\displaystyle m}$ estas triangula se kaj nur se la nombro ${\displaystyle 8m+1}$ estas kvadrata nombro.
• La kvadrato de ${\displaystyle n}$-a triangula nombro estas la sumo de kuboj de ${\displaystyle n}$ komencaj naturaj nombroj.
• En la triaj diagonaloj de la triangulo de Pascal troviĝas triangulaj nombroj laŭ ordo.
• La fama en mistiko la “nombro de la bestio” (666) estas 36-a triangula nombro. Ĝi estas plej malgranda triangula nombro, kiu estas sumo de kvadratoj de aliaj triangulaj nombroj: ${\displaystyle 666=15^{2}+21^{2}.}$

Triangulaj nombroj estas speco de plurlatera nombro.

• Centrita triangula nombro