מספר משולשי

בתורת המספרים, מספר טבעי ${\displaystyle \ T}$ נקרא מספר משולשי אם אפשר לסדר ${\displaystyle \ T}$ עצמים בצורת משולש שווה-צלעות. המספרים המשולשיים הראשונים הם 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45. ישנם אינסוף מספרים משולשיים.

המספר המשולשי ה-n-י מסומן ${\displaystyle \ T_{n}}$, והוא שווה לסכום כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n. הסיבה לכך היא שכדי לבנות משולש שווה-צלעות שאורך צלעו הוא n, מסדרים n עצמים בשורה, מעליהם n-1 עצמים בשורה, וכן הלאה עד הקדקוד הכולל עצם אחד.

ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: ${\displaystyle \ T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$. אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות. הנוסחה הייתה ידועה כבר לפיתגורס במאה ה-6 לפנה"ס.

הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום סדרה חשבונית. ${\displaystyle \ T_{n}}$ הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:

${\displaystyle \ T_{n}=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

אגדה ידועה מספרת שכאשר גאוס היה בן 7, הטיל עליו מורהו את המטלה לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 (כלומר לחשב את ${\displaystyle \ T_{100}}$). תוך שניות מעטות הדהים גאוס את המורה והגיע לתשובה, 5050. גאוס הבין כי ניתן לסדר את המספרים בזוגות: 1+100, 2+99, 3+98... וכן הלאה, כך שישנם ${\displaystyle \ {\tfrac {100}{2}}}$ זוגות שסכומם 101. כלומר:

${\displaystyle \ T_{100}=1+2+3+\ldots +98+99+100={\tfrac {100}{2}}\cdot (100+1)=5050}$

הטיעון של גאוס מחשב למעשה כל סדרה חשבונית.

n+1 מכרים נפגשים במסיבה. כל אחד לוחץ פעם אחת את היד לכל אחד אחר במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו במסיבה? (בניסוח פורמלי יותר, כמה קשתות יש בגרף שלם עם n+1 צמתים?) נספור אותם באופן הבא: נבחר איש ראשון. ישנם n אנשים אחרים במסיבה שלכל אחד מהם לחץ את היד. נספור n לחיצות ונוציא את האיש הראשון מהמסיבה. נבחר איש שני. נשארו n-1 אנשים במסיבה שלכל אחד מהם הוא לוחץ את היד. נספור עוד n-1 לחיצות ונוציא את האיש השני מהמסיבה. לאיש השלישי יישארו רק n-2 לחיצות. נספור אותן ונוציאו, וכן הלאה, עד שנגיע לאיש האחרון במסיבה שיוותרו לו 0 לחיצות לבצע. בסך הכל קיבלנו שמספר לחיצות הידיים הוא:

${\displaystyle \ n+(n-1)+\ldots +2+1+0=T_{n}}$

מצד שני ישנה דרך חכמה יותר לספור לחיצות ידיים. מעקרון הכפל יש ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ זוגות אפשריים של אנשים במסיבה. אולם בדרך זו גם ספרנו אנשים שהם זוג של עצמם. יש n+1 זוגות כאלו (אחד לכל איש) ולכן יש ${\displaystyle (n+1)^{2}-(n+1)}$ זוגות אפשריים שכוללים שני אנשים שונים. נשים לב כי ספרנו פעמיים כל זוג. פעם אחת את הזוג פלוני-אלמוני ופעם נוספת את הזוג אלמוני-פלוני. מכאן שכדי לקבל את מספר הזוגות האמיתי יש לחלק ב-2. כעת קיבלנו את מספר הזוגות האמיתי שהוא: ${\displaystyle {\frac {(n+1)^{2}-(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

זהו גם מספר לחיצות הידיים, שכן כל זוג לוחץ ידיים פעם אחת בדיוק.

מכיוון ששתי הדרכים לספור לחיצות ידיים צריכות לתת תוצאה זהה, קיבלנו שוויון בין התוצאה בשיטה הראשונה לתוצאה בשיטה השנייה. לכן:

${\displaystyle \ T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

הבעיה של מציאת מספר הזוגות האפשריים מתוך קבוצה עם n+1 עצמים היא מקרה פרטי של בעיה כללית יותר של מציאת מספר הקבוצות בנות k עצמים מתוך קבוצה עם m עצמים. תוצאה בסיסית בקומבינטוריקה קובעת שמספר הדרכים לבחור k עצמים מתוך קבוצה של m עצמים נתונה על ידי המקדם הבינומי ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$ (הוכחה לכך נתונה כאן). ובפרט מספר הדרכים לבחור זוגות מתוך קבוצה של n+1 איברים היא ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{2}}}$.

לכן כל מספר משולשי שווה למקדם הבינומי הנ"ל. בעזרת הנוסחה לחישוב מקדם בינומי נקבל את הנוסחה למספר משולשי:

${\displaystyle \ T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\frac {(n+1)!}{2!(n-1)!}}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

מספר משולשי נתון גם על ידי נוסחת הנסיגה ${\displaystyle \ T_{n}=T_{n-1}+n}$. הצידוק לנוסחה פשוט: ${\displaystyle \ T_{n-1}}$ הוא סכום המספרים מ-1 עד n-1. כדי לקבל ממנו את ${\displaystyle \ T_{n}}$ שהוא סכום המספרים מ-1 עד n, כל מה שיש לעשות הוא להוסיף את n.

ההבחנה הבאה היא שמתקיימת הזהות ${\displaystyle \ T_{n}+T_{n-1}=n^{2}}$, שיש לה צידוק גאומטרי פשוט המודגם באיור (ככל הידוע, הראשון שהבחין בזהות הוא ניקומאכוס בן המאה ה-1).

${\displaystyle \ T_{4}+T_{3}=4^{2}}$ = ${\displaystyle \ 10+6=16}$

${\displaystyle \ T_{5}+T_{4}=5^{2}}$ = ${\displaystyle \ 15+10=25}$

כפי שמודגם באיור, את ${\displaystyle \ T_{n}}$ ואת ${\displaystyle \ T_{n-1}}$ ניתן לסדר כשני משולשים שמשלימים זה את זה כך שהם יוצרים ריבוע עם צלע באורך n.

כעת ניתן להסיק את הנוסחה למספר משולשי:

${\displaystyle \ n^{2}=T_{n}+T_{n-1}=T_{n}+(T_{n}-n)=2T_{n}-n}$

נעביר את n אגף ונחלק ב-2:

${\displaystyle \ T_{n}={\frac {n^{2}+n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

בעזרת נוסחת הנסיגה ${\displaystyle \ T_{n}=T_{n-1}+n}$ ניתן להוכיח באינדוקציה מתמטית את הנוסחה למספר משולשי בקלות. לעיתים קרובות הדבר ניתן כדוגמה פשוטה לשימוש בשיטה.

בסיס האינדוקציה מתקיים: ${\displaystyle \ T_{1}={\frac {1(1+1)}{2}}=1}$.

נניח כי ${\displaystyle \ T_{n-1}={\frac {(n-1)n}{2}}}$ ונוכיח כי ${\displaystyle \ T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$:

${\displaystyle \ T_{n}=T_{n-1}+n={\frac {(n-1)n}{2}}+n={\frac {n^{2}-n}{2}}+{\frac {2n}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

וההוכחה הושלמה.

נסמן ב-${\displaystyle \ M_{n}(F)}$ את מרחב המטריצות הריבועיות מסדר n על n מעל שדה (ממאפיין שונה מ-2). נסמן ב-${\displaystyle V}$ את קבוצת המטריצות הסימטריות וב-${\displaystyle W}$ את קבוצת המטריצות האנטי-סימטריות. קל לראות ש-${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ הם תת-מרחבים של ${\displaystyle \ M_{n}(F)}$.

מטריצה סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש על ומעל האלכסון הראשי ואילו מטריצה אנטי-סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש מעל (ולא על) האלכסון הראשי. לכן ${\displaystyle \dim V=T_{n}}$ ו-${\displaystyle \dim W=T_{n-1}}$.

המטריצה היחידה שהיא גם סימטרית וגם אנטי-סימטרית היא מטריצת האפס. כמו כן, כל מטריצה ${\displaystyle A}$ ניתן לבטא כסכום של מטריצה סימטרית עם מטריצה אנטי-סימטרית כך:

${\displaystyle A=\left({\frac {A+A^{t}}{2}}\right)+\left({\frac {A-A^{t}}{2}}\right)}$

לכן ${\displaystyle \ M_{n}(F)}$ הוא סכום ישר של שני המרחבים:

${\displaystyle M_{n}(F)=V\oplus W}$

אם נעבור למשוואת הממדים נקבל:

${\displaystyle n^{2}=\dim M_{n}(F)=\dim V+\dim W=T_{n}+T_{n-1}}$

ומכאן נמשיך כמו בהוכחה הגאומטרית.

מאות תכונות שונות של מספרים משולשיים נחקרו במהלך השנים. להלן כמה תכונות מרכזיות:

• מספרים משולשיים הם מקרה פרטי של מספרים מצולעים – מספרים שניתן לסדרם בצורת מצולע משוכלל.

• לפי הנוסחה למספרים משולשיים, לכל מספר משולשי ${\displaystyle \ T_{n}}$ מתקיים ש-${\displaystyle \ 8T_{n}+1=(2n+1)^{2}}$ הוא מספר ריבועי. גם ההפך נכון. אם מספר ${\displaystyle \ 8k+1}$ הוא מספר ריבועי, אז k הוא מספר משולשי. זאת משום ש-${\displaystyle \ 8k+1}$ אי-זוגי, ולכן השורש שלו אי-זוגי, ומכאן שקיים n כך ש-${\displaystyle \ 8k+1=(2n+1)^{2}=8T_{n}+1}$.

• ההפרש בין המספר המצולע ה-n-י מסדר s (זה המתאים למצולע עם s צלעות) למספר המצולע ה-n-י מסדר s-1 הוא המספר המשולשי ${\displaystyle \ T_{n-1}}$. הזהות ${\displaystyle \ n^{2}-T_{n}=T_{n-1}}$ היא מקרה פרטי של הזהות הכללית.

• יש אינסוף מספרים משולשיים שהם גם ריבועים, ואלו נקראים מספרים משולשיים ריבועיים. הדוגמה הקטנה ביותר, מלבד 1, היא 36.
• סכום n המספרים המשולשיים הראשונים נקרא המספר הארבעוני ה-n-י, שכן ניתן לסדר את המשולשים במרחב התלת־ממדי זה על גבי זה כך שנוצר ארבעון (פירמידה משולשת). ישנה נוסחה מפורשת למספרים ארבעוניים:

${\displaystyle \ T_{1}+T_{2}+\ldots +T_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$

• לפי משפט ניקומאכוס מתקיימת הזהות המפתיעה:

${\displaystyle \ 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=T_{n}^{2}=(1+2+\ldots +n)^{2}}$

• כל מספר משוכלל זוגי הוא מספר משולשי. אוילר הוכיח כי כל מספר משוכלל זוגי הוא מהצורה ${\displaystyle \ T_{M_{p}}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{p-1}(2^{p}-1)}$, כאשר ${\displaystyle \ M_{p}}$ הוא מספר מרסן ראשוני.

• במשולש פסקל כל המספרים המשולשיים מופיעים באלכסון השלישי (מימין ומשמאל). תכונה זו נובעת מההצגה של המספרים המשולשיים כמקדמים בינומיים.

• מתוך הנוסחה למספרים משולשיים מוכיחים את הזהויות:
  • ${\displaystyle \ T_{n+m}=T_{n}+T_{m}+nm}$
  • ${\displaystyle \ T_{nm}=T_{n}T_{m}+T_{n-1}T_{m-1}}$

• הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים משולשיים שווה ל-2. זאת מכיוון שניתן להפוך אותו לטור טלסקופי שמתכנס ל-2:

${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {n(n+1)}{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{n}}-{\frac {2}{n+1}}\right)=2}$

ב-10 ביולי 1796 המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות. הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "ΕΥΡΗΚA! ∆ + ∆ + ∆ = num".

תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו לגראנז' (ב-1798) וגאוס עצמו (ב-1801) – כל מספר שאינו מהצורה ${\displaystyle \ 4^{k}(8m+7)}$ הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות.

נציג את ${\displaystyle \ n}$ כסכום של שלושה מספרים משולשיים. ראשית נבחין כי ${\displaystyle \ 8n+3}$ אינו מהצורה הבעייתית, כי ${\displaystyle 4^{k}(8m+7)\equiv 0,4,7\not \equiv 3{\pmod {8}}}$. נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים ${\displaystyle \ 8n+3=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ (חלקם אולי 0). נבחן את השוויון מודולו 4. 0 ו-1 הם השאריות הריבועיות מודולו 4, כלומר ${\displaystyle \ x^{2}\equiv 0,1{\pmod {4}}}$. מצד שני ${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}+c^{2}=8n+3\equiv 3{\pmod {4}}}$. לכן בהכרח ${\displaystyle \ a^{2}\equiv b^{2}\equiv c^{2}\equiv 1{\pmod {4}}}$. כלומר ${\displaystyle \ a,b,c}$ כולם אי-זוגיים. לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים ${\displaystyle \ i,j,k}$ כך ש-${\displaystyle \ 8T_{i}+1=a^{2},8T_{j}+1=b^{2},8T_{k}+1=c^{2}}$ (לשם הנוחות מגדירים ${\displaystyle \ T_{0}=0}$). נציב בשוויון ונקבל:

${\displaystyle \ 8n+3=8T_{i}+1+8T_{j}+1+8T_{k}+1\implies n=T_{i}+T_{j}+T_{k}}$

וקיבלנו את ההצגה המבוקשת. במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא ${\displaystyle \ T_{0}=0}$, ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.

משפט המספרים המצולעים שהוכיח קושי ב-1813 הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה. המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s. התוצאה של גאוס היא המקרה s=3, ואילו משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא המקרה s=4.

• עצרת (מתמטיקה) – האנלוג הכפלי של מספרים משולשיים
• טור המספרים הטבעיים

• מספר משולשי, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת המספרים המשולשיים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• 400 המספרים המשולשיים הראשונים באתר mathlist.