Polygontall

I det todimensjonale planet finnes det uendelige mange, regulære mangekanter. Men i praksis omtaler man vanligvis kun polygontall basert på mangekanter med maksimalt seks sidekanter. De relevante mangekanter er derfor trekanten, firkanten, femkanten og sekskanten eller heksagonet.

Teoretisk kan man også betrakte et linjestykke som en tokant med to sammenfallende sidekanter. På den måten kan de naturlige tallene 1, 2, 3, 4, ... sies å være «tokanttall».

En likesidet trekant med n prikker eller kuler i hver sidekant kan dekkes med Δ_n  kuler. Dette er det n-te trekanttallet. Ved å legge til et linjestykke med n + 1 kuler, fremstår en ny, likesidet trekant som inneholder Δ_{n + 1}  kuler. Trekanttallene er derfor forbundet ved rekursjonsformelen

${\displaystyle \Delta _{n+1}=\Delta _{n}+(n+1)}$ 

 

Herav kan alle trekanttallene bestemmes ved å starte med Δ₁ = 1. Det betyr at det n-te tallet i denne klassen fremkommer som summen av de n tallene i rekken

${\displaystyle \Delta _{n}=1+2+3+4+5+\cdots +n}$ 

Generelt er trekanttallene dermed gitt ved formelen

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {1}{2}}n(n+1)}$ 

Et kvadrat som består av n linjer som hver inneholder n kuler, har i alt K_n  kuler. Dette er dermed det n-te firkanttallet. Ved et legge til et brukket linjestykke med 2n + 1 kuler, fremstår et nytt kvadrat hvor sidekanten inneholder n + 1 kuler. Firkanttallene er derfor forbundet ved rekursjonsformelen

${\displaystyle K_{n+1}=K_{n}+(2n+1)}$ 

 

Herav kan alle slike tall beregnes ved å starte med K₁ = 1. Det betyr at det n-te firkanttallet fremkommer som summen av de n tallene i rekken

${\displaystyle K_{n}=1+3+5+7+\cdots +(2n-1)}$ 

Generelt er de dermed gitt ved formelen

${\displaystyle K_{n}=n^{2}}$ 

Fra en femkant som inneholder femkanttallet F_n  kuler, kan man lage en ny med F_{n + 1}  kuler ved å legge 3n + 1 kuler utenpå den første. Dermed har man rekursjonsformelen

${\displaystyle F_{n+1}=F_{n}+(3n+1)}$ 

 

Det n-te femkanttallet er derfor gitt ved summen

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}&=1+4+7+10+\cdots +(3n-2)=3(1+2+3+\cdots +n-1)+n={3 \over 2}n(n-1)+n\\&={1 \over 2}n(3n-1)\end{aligned}}}$ 

Noen av de første er 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ....

På samme måte kan en sekskant som inneholder sekskanttallet S_n  med kuler, utvides med 4n + 1 kuler til å gi det neste sekskantallet

${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+(4n+1)}$ 

 

Det er derfor gitt ved summen

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=1+5+9+13+\cdots +(4n-3)=4(1+2+3+\cdots +n-1)+n=2n(n-1)+n\\&=n(2n-1)\end{aligned}}}$ 

Noen av de første er 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, ...

Ved å skrive formelen for sekskanttallene ved de tilsvarende uttrykkene for trekanttallene Δ_n  og kvadrattallene K_n, har man rent algebraisk at

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=K_{n}+n^{2}-n=K_{n}+2\Delta _{n-1}\\&=\Delta _{n}+3\Delta _{n-1}\end{aligned}}}$ 

Geometrisk tilsvarer det at en slik sekskant kan tenkes satt sammen av en trekant med n kuler i sidene pluss tre andre trekanter med n - 1 kuler i sidekantene.

Disse resultatene kan lett utvides til en regulær polygon med s sidekanter. Hvis man benytter notasjonen P_s (n) for det n-te av disse generelle polygontallene, vil de da tilfredsstille rekursjonsformelen

${\displaystyle P_{s}(n+1)=P_{s}(n)+(s-2)n+1}$ 

som tar sitt utgangspunkt i P_s (1) = 1. Dette polygontallet er derfor gitt ved summen

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}(n)&=(s-2)(1+2+3+\cdots +n-1)+n={\frac {1}{2}}n(n-1)(s-2)+n\\&={\frac {1}{2}}(s-2)n^{2}-{\frac {1}{2}}(s-4)n\end{aligned}}}$ 

Denne generelle formelen ser i overensstemmelse med hva som allerede er funnet for s = 3, 4, 5 og 6. Til og med for en tokant med s = 2 kan den benyttes da den gir P₂ (n) = n som er det n-te naturlige tallet. Disse tokanttallene angir hvor mange kuler kan plasseres på et vilkårlig langt linjestykke.

De forskjellige polygonene kan også benyttes til å konstruere et alternativt sett med polygontall. Disse kalles sentrerte polygontall da de bygges opp rundt et felles senter i stedet for en asymmetrisk utvidelse av omkretsen fra et hjørne som for de vanlige polygontallene. For eksempel har man

1		5		13		25

1		7		19		37

 

Alle slike sentrerte polygontall starter med et punkt eller kule. Så omgir man dette punktet med like mange nye punkt som polygonen har sidekanter. Hvis dette tallet er s og man kaller det n-te av disse tallene for CP_s (n), vil man ha rekursjonsrelasjonen

${\displaystyle CP_{s}(n+1)=CP_{s}(n)+sn}$ 

hvor CP_s (1) = 1. Det betyr at

${\displaystyle CP_{s}(n)=1+s(1+2+3+4+\cdots +n-1)=1+{s \over 2}n(n-1)}$ 

Det siste leddet i dette resultatet inneholder trekanttallet Δ_{n - 1} slik at det n-te, sentrerte polygontallet er gitt som

${\displaystyle CP_{s}(n)=1+s\Delta _{n-1}}$ 

Polygonet som representerer dette tallet, kan derfor deles opp i et sentralt punkt pluss s trekanter, hver med sidekanter inneholdende n - 1 punkt.

De laveste klassene av disse polygontallene blir dermed

Sentrerte trekanttall: 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ...

Sentrerte firkanttall: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ...

Sentrerte femkanttall: 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ...

Sentrerte sekskantall: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ...

• R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 0-195-10519-2.
• J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.