അവകലസമവാക്യം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

അവകലസമവാക്യങ്ങൾ
പ്രായോഗികത പ്രാകൃതികശാസ്ത്രം - എൻജിനീയറിങ്ങ് Astronomy Physics Chemistry Biology Geology Applied maths Continuum mechanics Chaos theory Dynamical systems Social sciences Economics Population dynamics
വർഗ്ഗീകരണം
Operations Differential operator Notation for differentiation Ordinary Partial Differential-algebraic Integro-differential Fractional Linear Non-linear
Attributes of variables Dependent and independent variables Homogeneous Nonhomogeneous Coupled Decoupled Order Degree Autonomous Exact differential equation Complex differential equation
Relation to processes Difference (discrete analogue) stochastic Delay
Solutions
Solution topics Picard–Lindelöf theorem (existence and uniqueness) Wronskian Phase portrait Phase space Lyapunov stability Asymptotic stability Exponential stability Rate of convergence Series solutions Integral solutions Numerical integration Dirac Delta function
Solution methods Inspection Separation of variables Method of undetermined coefficients Integrating factor Integral transforms Euler method Finite difference method Crank–Nicolson method Runge–Kutta methods Finite element analysis Galerkin method Perturbation theory
Mathematicians Isaac Newton Leonhard Euler Charles Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Wilhelm Kutta
ക സ തി

ഏകദങ്ങളും അവയുടെ അവകലജങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ കുറിക്കുന്ന സമവാക്യമാണ് അവകലസമവാക്യം. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ, ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി അവകല സമവാക്യങ്ങളെ തരം തിരിക്കാവുന്നതാണ്. എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിൽ വളരെയധികം പ്രായോകിഗ സാധ്യതയുള്ളവയാണ് അവകലസമവാക്യങ്ങൾ.

y = f(x) അഥവാ u = f(x,y,.....t) എന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ചരങ്ങളുടെ ഒരു ഫലനം നേരിട്ടറിവില്ല; എന്നാൽ അവയുടെ അവകലജങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്നു എന്നറിയാം; ഈ നിലയിൽ ഫലനം കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട ആവശ്യം ശുദ്ധഗണിതത്തിലും പ്രയുക്തഗണിതത്തിലും പലപ്പോഴും ഉദ്ഭവിക്കുന്നു. ഉദാ: ഒരു വക്രത്തിന്റെ വക്രതാ ആരം തന്നിരുന്നാൽ വക്രം കാണുക; ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനവും പ്രവേഗവും ത്വരണവും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിൽനിന്നും അതിന്റെ ഗതി നിർണയിക്കുക; ഒരു റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർഥത്തിന്റെ ക്ഷയനിരക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ അർധായൂസ് കാണുക; തുടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങൾ നിർധാരണം ചെയ്യാൻ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.

• ഒരു സ്വതന്ത്രചരം മാത്രമുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നു.
• രണ്ടോ അതിൽ കൂടുതലോ സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നാണ് പറയുന്നത്.

• കൃതി ഒന്നായതും അവകലജങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിക്കപ്പെടാതെയും ഉള്ള രൂപത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നവയാണ് രേഖീയ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ.
• രേഖീയം അല്ലാത്ത എല്ലാ അവകല സമവാക്യങ്ങളും അരേഖീയമാണ്.

u എന്നത് xന്റെ ഏകദവും c, ω എന്നിവ സ്ഥിരസംഖ്യകളും ആണെന്ന് കരുതുക.

• ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• ക്രമാവർത്തന ദോലനം കുറിക്കുന്ന കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.}$

• L നീളമുള്ള പെൻഡുലത്തിന്റെ സഞ്ചാരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോടി രണ്ടായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

u എന്നത് x, t എന്നിവയുടേതോ x, y എന്നിവയുടേതോ ഏകദമാണെന്ന് കരുതുക.

• ഏകാത്മക രേഖീയ ആംശിക അവകല സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• എലിപ്റ്റിക് രൂപത്തിലുള്ള കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക ആംശിക അവകല സമവാക്യം, ലാപ്ലേസ് സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• കോടി മൂന്നായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം, കോർട്വെഗ്–ഡി വ്രീസ് സമവാക്യം:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂർണ്ണമാണ്‌. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാൻ സഹായിക്കുക.