Дыферэнцыяльнае ўраўненне

Дыферэнцыяльнае ўраўненне, ці дыферэнцыяльнае раўнанне^[1] — ураўненне, якое звязвае значэнне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэнне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыферэнцыяльнае ўраўненне змяшчае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя пераменныя. Аднак не кожнае ўраўненне, якое змяшчае вытворныя невядомай функцыі, з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Напрыклад, ${\displaystyle f'(x)=f(f(x))}$ не з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Варта таксама адзначыць, што дыферэнцыяльнае ўраўненне можа наогул не змяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зменныя, але абавязкова змяшчаць хоць адну з вытворных.

У прыкладаннях матэматыкі часта ўзнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасць аднаго параметра ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасці змены аднаго параметра адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжання функцыі па яе вытворнай, звязанай з некаторымі іншымі выразамі.

Першапачаткова дыферэнцыяльныя ўраўненні ўзніклі з задач механікі, у якіх патрабавалася вызначыць каардынаты цел, іх хуткасці і паскарэнні, якія разглядаюцца як функцыі часу пры розных уздзеяннях. Да дыферэнцыяльных раўнанняў прыводзілі таксама некаторыя разгледжаныя ў той час геаметрычныя задачы.

Асноваю тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў стала дыферэнцыяльнае злічэнне, створанае Лейбніцам і Ньютанам (1642—1727). Сам тэрмін «дыферэнцыяльнае раўнанне» быў прапанаваны ў 1676 годзе Лейбніцам.

З вялікай колькасці работ XVIII стагоддзя па дыферэнцыяльных ураўненнях вылучаюцца працы Эйлера (1707—1783) і Лагранжа (1736—1813). У гэтых працах была развіта тэорыя малых ваганняў і тэорыя лінейных сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў; адначасова ўзніклі асноўныя паняцці лінейнай алгебры (уласныя лікі і вектары ў n-мерным выпадку). Услед за Ньютанам Лаплас і Лагранж, а пазней Гаус (1777—1855) развіваюць таксама метады тэорыі ўзбурэнняў.

Калі была даказана невырашальнасць алгебраічных ураўненняў у радыкалах, Жазеф Ліувіль (1809—1882) пабудаваў аналагічную тэорыю для дыферэнцыяльных ураўненняў, устанавіўшы немагчымасць рашэння рада раўнанняў (у тым ліку, такіх класічных, як лінейныя ўраўненні другога парадку) у элементарных функцыях і квадратуры. Пазней Софус Лі (1842—1899), аналізуючы пытанне аб інтэграванні раўнанняў у квадратурах, прыйшоў да неабходнасці падрабязна даследаваць групы дыфеамарфізмаў (якія пасля атрымалі назву груп Лі) — так з тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў узнікла адна з самых плённых абласцей сучаснай матэматыкі, далейшае развіццё якой было цесна звязана зусім з іншымі пытаннямі (алгебры Лі яшчэ раней разглядалі Сімеон Дэні Пуасон (1781—1840) і, асабліва, Карл Густаў Якаб Якобі (1804—1851)). Новы этап развіцця тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў пачынаецца з работ Анры Пуанкарэ (1854—1912), створаная ім «якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў» разам з тэорыяй функцый камплексных зменных прывяла да стварэння сучаснай тапалогіі. Якасная тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, ці, як цяпер яе часцей называюць, тэорыя дынамічных сістэм, цяпер актыўна развіваецца і мае шмат прыкладанняў у прыродазнаўстве.

Звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні (ЗДУ) — гэта ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць ад аднае зменнай. Яны маюць выгляд

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)}\right)=0\!}$  ці  ${\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0,}$

дзе ${\displaystyle y=y(x)}$ — невядомая функцыя (магчыма, вектар-функцыя; у такім выпадку часта гавораць аб сістэме дыферэнцыяльных ураўненняў), якая залежыць ад незалежнай зменнай x, штрых абазначае дыферэнцаванне па x. Лік n, роўны найвышэйшаму парадку вытворных, прысутных ва ўраўненні, называецца парадкам дыферэнцыяльнага ўраўнення. Найбольш практычна важнымі з’яўляюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні першага і другога парадку.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных (ДУЧВ) — ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі ад некалькіх зменных і іх частковыя вытворныя. Такія ўраўненні можна запісаць у выглядзе:

${\displaystyle F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial z}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n}}}\right)=0,}$

дзе ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ — незалежныя пераменныя, а ${\displaystyle z=z(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ — функцыя гэтых пераменных. Парадак ураўненняў у частковых вытворных можа вызначацца гэтак жа, як для звычайных ДУ.

Ураўненні ў ЧВ другога парадку таксама падзяляюцца на ўраўненні эліптычнага, парабалічнага і гіпербалічнага тыпу.

• Дыферэнцыяльнае ўраўненне з запазненнем^be_en (ДУЗ) — ураўненне для функцыі адной зменнай (т.зв. часу), у якім вытворная функцыі ў пэўны час выражаецца праз значэнні функцыі ў больш раннія часы.
• Стахастычнае дыферэнцыяльнае ўраўненне^be_en (СДУ) — ураўненне, у якім невядомая велічыня з’яўляецца выпадковым працэсам. Такое ўраўненне можа ўключаць зададзеныя стахастычныя працэсы, напрыклад, Вінераўскі працэс^be_en у выпадку ўраўненняў дыфузіі^be_ru.
• Дыферэнцыяльна-алгебраічнае ўраўненне^be_en (ДАУ) — дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое ўключае дыферэнцыяльныя і алгебраічныя залежныя пераменныя, зададзеныя няяўным чынам.

• ExpressionsinBar
• Maple:^[2] dsolve
• SageMath^[3]
• Xcas:^[4] desolve(y'=k*y,y)

• Правіла Рунге — Ромберга

• Дыферэнцыяльныя ўраўненні // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 6. С. 301.

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
• Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
• Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
• А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4-е изд., Физматлит, 2005.
• А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
• Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
• А. Ф. Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.

• Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
• Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.
• А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

• Сайт пад рэдакцыяй А. Д. Паляніна «Мир математических уравнений» — EqWorld (руск.)
• Рускамоўныя рэсурсы па дыферэнцыяльных ураўненнях у Адкрытым Каталозе. (руск.)
• Прыклады рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў Архівавана 26 чэрвеня 2012. (руск.)