Aritmetická posloupnost

V následujících vzorcích označuje ${\displaystyle a_{n}}$  n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

• známe některý člen a jeho index: ${\displaystyle i,a_{i}}$ 

• známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu: ${\displaystyle \,a_{n+1}=a_{n}+d}$ 

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}$ 

${\displaystyle a_{r}=a_{s}+(r-s)\cdot d}$ 

${\displaystyle s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}=na_{1}+{\frac {1}{2}}n(n-1)d}$ 

 

Součet prvních ${\displaystyle n}$  členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\ldots +[a_{1}+(n-2)d]+[a_{1}+(n-1)d]}$ 

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

${\displaystyle s_{n}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(n-2)d]+\ldots +(a_{1}+d)+a_{1}}$ 

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

${\displaystyle 2s_{n}=n\cdot [a_{1}+a_{1}+(n-1)d],}$ 

${\displaystyle s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}.}$ 

Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je ${\displaystyle 1+100=101}$ , druhý a předposlední člen je ${\displaystyle 2+99=101}$ , atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude ${\displaystyle 100\cdot 101=10100}$ , avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady ${\displaystyle s_{100}={\frac {100\cdot (100+1)}{2}}=5050}$ .^[2]

Například je-li ${\displaystyle a_{1}=-5}$  a ${\displaystyle d=3}$ , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

${\displaystyle \ a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ 

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Je-li posloupnost ${\displaystyle a_{n}}$  aritmetická, tak je posloupnost ${\displaystyle b^{a_{n}}}$  geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost ${\displaystyle g_{n}}$  geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost ${\displaystyle \quad \log _{b}g_{n}}$  aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\pm \infty }$ ,

kde kladné znaménko platí pro ${\displaystyle d>0}$  anebo ${\displaystyle d=0,a_{1}>0}$  a záporné pro ${\displaystyle d<0}$  anebo ${\displaystyle d=0,a_{1}<0}$ .

Pro ${\displaystyle a_{1}=d=0}$  je součet

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=0.}$ 

• Geometrická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu aritmetická posloupnost na Wikimedia Commons