Aritmetički niz

Aritmetički niz ili Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je razlika svakog člana i njegovog prethodnika stalan broj. Članove niza označavamo s ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},...}$ ili u kraćem zapisu s ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$. Naziv je nastao od toga što je u takvu nizu za svaka tri uzastopna člana drugi po redu aritmetička sredina prvog i trećeg.

Diferencija aritmetičkog niza je broj koji se dobiva oduzimanjem n-tog člana niza ${\displaystyle (n\in \mathbf {N} \backslash \{1\})}$ i njegovog prethodnika. Diferenciju niza označavamo s d i računamo po formuli:

${\displaystyle d=a_{n}-a_{n-1}}$

Opći (n-ti) član aritmetičkog niza je član koji se nalazi na n-tom rednom mjestu u nizu ${\displaystyle (n\in \mathbf {N} )}$. Vrijednost n-tog člana u aritmetičkom nizu računa se po formuli :${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$, gdje je ${\displaystyle a_{1}}$ prvi član, a ${\displaystyle d}$ diferencija niza.

Suma aritmetičkog niza je zbroj prvih n članova tog niza. Računa se po formuli

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]}$,

gdje ${\displaystyle n}$ označava broj članova niza, ${\displaystyle a_{1}}$ prvi član, a ${\displaystyle d}$ diferenciju niza.

Suma prvih n članova aritmetičkog niza može se izračunati i po formuli:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\left(a_{1}+a_{n}\right)}$,

gdje ${\displaystyle n}$ označava broj članova niza, ${\displaystyle a_{1}}$ prvi član, a ${\displaystyle a_{n}}$ posljednji član aritmetičkog niza kojeg želimo zbrojiti.