Polynom

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = ${\displaystyle -\infty }$ .

• ${\displaystyle p(x)=8x+3}$  je polynom 1. stupně (lineární polynom)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{2}+2x-2}$  je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{3}-8x}$  je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Mějme polynom ${\displaystyle n}$ -tého stupně ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},a_{n}\neq 0}$ , a polynom ${\displaystyle m}$ -tého stupně ${\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i},b_{m}\neq 0}$ .

• Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. ${\displaystyle f(x)=g(x)}$  pro všechna ${\displaystyle x}$  pouze tehdy, je-li ${\displaystyle n=m}$  a pro každé ${\displaystyle i=1,2,...,n}$  platí ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ .

• Sečtením polynomů ${\displaystyle f(x)}$  a ${\displaystyle g(x)}$  získáme polynom

${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^{r}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$ ,

kde ${\displaystyle r=max(n,m)}$ . Stupeň výsledného polynomu je ${\displaystyle \leq r}$ . (Odpovídající koeficienty polynomů ${\displaystyle f(x)}$  a ${\displaystyle g(x)}$  mohou v součtu dávat 0.)

• Součin polynomů ${\displaystyle f(x),g(x)}$  je polynom ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$ , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je ${\displaystyle s=n+m}$ .

• Platí tedy, že ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{n+m}(\sum _{j=0}^{i}a_{j}\cdot b_{i-j})x^{i}}$ .

• Je-li kde ${\displaystyle n\geq m}$ , pak existují právě dva polynomy ${\displaystyle r(x),s(x)}$  takové, že platí

${\displaystyle f(x)=g(x)r(x)+s(x)}$ 

kde ${\displaystyle s(x)}$  má stupeň menší než ${\displaystyle m}$  nebo je nulovým polynomem. Pokud ${\displaystyle s(x)}$  je nulový polynom, pak říkáme, že polynom ${\displaystyle f(x)}$  je dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$ .

• Polynomy tvoří vektorový prostor.

Polynom ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}}$  lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_{1})x+a_{0}}$ 

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu ${\displaystyle p(x)}$  v bodě ${\displaystyle x}$  postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

${\displaystyle c_{n}=a_{n}}$ ,

${\displaystyle c_{n-1}=c_{n}x+a_{n-1}}$ ,

${\displaystyle c_{n-2}=c_{n-1}x+a_{n-2}}$ ,

…

${\displaystyle c_{0}=c_{1}x+a_{0}}$ ,

pak poslední číslo ${\displaystyle c_{0}}$  představuje právě hodnotu polynomu ${\displaystyle p(x)}$  v bodě ${\displaystyle x}$ .

• Mějme polynomy ${\displaystyle f(x)=x^{4}-x}$ , ${\displaystyle g(x)=x^{3}-2x+1}$ 

${\displaystyle f(x)+g(x)=x^{4}-x+x^{3}-2x+1=x^{4}+x^{3}-3x+1}$ 

${\displaystyle f(x)\cdot g(x)=(x^{4}-x)(x^{3}-2x+1)=x^{7}-2x^{5}+x^{4}-x^{4}+2x^{2}-x=x^{7}-2x^{5}+2x^{2}-x}$ 

• Pokusme se zjistit, zda je polynom ${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1}$  dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle f(x)}$  členem s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. ${\displaystyle {\frac {x^{4}}{x^{2}}}=x^{2}}$ . První člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$  tedy bude ${\displaystyle x^{2}}$ . Tímto členem vynásobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$  (dostaneme tedy ${\displaystyle x^{4}+x^{2}}$ ) a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f(x)}$ , čímž získáme nový polynom ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)-(x^{4}+x^{2})=-4x^{2}+2x+1}$ .

Nejvyšší člen polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$  opět dělíme nejvyšším členem polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. ${\displaystyle {\frac {-4x^{2}}{x^{2}}}=-4}$ , tzn. další člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$  je ${\displaystyle -4}$ . Tímto členem opět násobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. získáme ${\displaystyle -4x^{2}-4}$ , a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$ . Získáme nový polynom ${\displaystyle f_{2}(x)=2x+5}$ .

Stupeň polynomu ${\displaystyle f_{2}(x)}$  je však nižší než stupeň polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom ${\displaystyle f_{2}(x)}$  tedy odpovídá polynomu ${\displaystyle s(x)}$ .

Výsledek tedy je

${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1=g(x)r(x)+s(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4)+(2x+5)}$ ,

tzn. ${\displaystyle r(x)=x^{2}-4}$  a ${\displaystyle s(x)=2x+5}$ .

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle s(x)\neq 0}$ , není polynom ${\displaystyle f(x)}$  dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$ .

Číslo ${\displaystyle \alpha }$  se nazývá kořen polynomu ${\displaystyle p(x)}$ , jestliže platí

${\displaystyle p(\alpha )=0}$ 

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

• Je-li ${\displaystyle \alpha }$  kořenem polynomu ${\displaystyle p(x)}$  stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ , pak

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha )g(x)}$ ,

kde ${\displaystyle g(x)}$  je polynom stupně ${\displaystyle n-1}$ .

• Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze ${\displaystyle k}$  kořenů polynomu ${\displaystyle n}$ -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom ${\displaystyle p(x)}$  na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu ${\displaystyle g(x)}$  stupně ${\displaystyle n-k}$ , tzn.

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})g(x)}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{i}}$  představují známé kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu ${\displaystyle p(x)}$  stačí hledat pouze kořeny polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. řešit rovnici ${\displaystyle g(x)=0}$ , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Polynom ${\displaystyle g(x)}$  získáme z polynomu ${\displaystyle p(x)}$  jeho vydělením výrazem ${\displaystyle (x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})}$ .

• Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom ${\displaystyle p(x)}$  stupně ${\displaystyle n\geq 1}$  lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$  jsou kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Členy ${\displaystyle (x-\alpha _{i})}$  označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

• Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

${\displaystyle f(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{k_{1}}\cdot (x-\alpha _{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x-\alpha _{n})^{k_{n}}}$ ,

kde ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=n}$ , přičemž ${\displaystyle k_{i}}$  jsou přirozená čísla. Čísla ${\displaystyle k_{i}}$  určují násobnost kořene ${\displaystyle \alpha _{i}}$ , tzn. kolikrát se kořen ${\displaystyle \alpha _{i}}$  vyskytuje v řešení polynomu.

• Pokud má polynom stupně ${\displaystyle n\geq 1}$  s reálnými koeficienty ${\displaystyle k}$ -násobný kořen ${\displaystyle \alpha =a+ib}$ , má také ${\displaystyle k}$ -násobný kořen ${\displaystyle {\overline {\alpha }}=a-ib}$ . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem ${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-2xa+(a^{2}+b^{2})}$ .

• Podle předchozího tvrzení lze každý polynom ${\displaystyle p(x)}$  stupně ${\displaystyle n\geq 1}$  s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla ${\displaystyle a_{n}}$ , reálných kořenových činitelů ${\displaystyle x-\alpha _{i}}$  a reálných trojčlenů ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$ , splňujících podmínku ${\displaystyle p_{i}^{2}-4q_{i}<0}$ , tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})\cdots (x^{2}+p_{m}x+q_{m})}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},p_{1},...,p_{m},q_{1},...,q_{m}}$  jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka ${\displaystyle k+2m=n}$ .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{u_{1}}\cdots (x-\alpha _{s})^{u_{s}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{v_{1}}\cdots (x^{2}+p_{r}x+q_{r})^{v_{r}}}$ ,

kde ${\displaystyle u_{1}+u_{2}+...+u_{s}=k}$  určuje počet reálných kořenů polynomu a ${\displaystyle v_{1}+v_{2}+...+v_{r}=m}$  je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

• Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

• Pokud jsou ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$  kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=-a_{n-1}}$ 

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}++\alpha _{n-1}\alpha _{n}=a_{n-2}}$ 

…

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}=(-1)^{n}a_{0}}$ 

• Derivací polynomu ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$  rozumíme polynom tvaru ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot ix^{i-1}}$ . Derivaci značíme ${\displaystyle f}$  '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

• n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

${\displaystyle f\ ^{(1)}=f}$  '

${\displaystyle f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})}$  '

Číslo ${\displaystyle \alpha }$  je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu ${\displaystyle k-1}$  (a není kořenem derivace řádu ${\displaystyle k}$ ).

Funkci ${\displaystyle P}$  dvou proměnných ${\displaystyle x\in R,y\in R}$  označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla ${\displaystyle n,m}$  a konstanty ${\displaystyle a_{ij}}$  takové, že platí

${\displaystyle P(x,y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j}}$ .

• Monom
• Dvojčlen
• Základní věta algebry
• Algebraická rovnice
• Reciproký polynom
• Charakteristický polynom
• Hornerovo schéma

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu polynom na Wikimedia Commons
•   Slovníkové heslo mnohočlen ve Wikislovníku
• Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu