Rekenkundige ry

In wiskunde is 'n rekenkundige ry 'n ry waarin die verskil tussen twee opeenvolgende terme konstant is. Elke daaropvolgende term word geskep deur 'n konstante, genaamd verskil, by sy voorganger te voeg. As die eerste term ${\displaystyle t_{1}}$ en die verskil ${\displaystyle v}$ bekend is, dan is die hele ry vas, aangesien die tweede term ${\displaystyle t_{2}=t_{1}+,v}$ die derde ${\displaystyle t_{3}=t_{2}+v=t_{1}+2v,}$ ens. So word die ${\displaystyle n}$ -die term gegee deur:

Die gedeeltelike som ${\displaystyle S_{n}}$ van die eerste ${\displaystyle n}$ terme van 'n rekenkundige ry word gegee deur

${\displaystyle S_{n}={\tfrac {1}{2}}n(t_{1}+t_{n})=nt_{1}+{\tfrac {1}{2}}(n-1)nv}$.

Numeriese patrone is 'n basiese wiskundige konsept wat aangewend word om leerders te onderrig in die fundamentele aard en eienskappe van rye en reekse, rekursie, afbeeldings, funksies, ensovoorts. Numeriese (getal)patrone is naamlik getalle wat in ‘n linêere patroon aan die leerders voorgehou word, terwyl meetkundige (getal)patrone eenvoudige meetkundige vorms is wat in 'n voorspelbare progressie uitgebrei word, om eweneens 'n getalry voor te stel. Die reël wat die ry sal bepaal, asook die uitbreiding van die ry word telkens ondersoek. Om waardes van heelwat groter terme te bepaal word 'n afbeelding in tabelvorm opgestel, voordat 'n eenvoudige algebraïese formule vasgestel en aangewend word.

• ’n Getalpatroon/getalry is ‘n reeks getalle wat ’n spesifieke reël volg, bv.: 4; 7; 10; 13; 16; ... Die reël hier is maklik om te onderskei, naamlik dat by elke lokus of term drie bygetel word om by die volgende getal in die ry te arriveer.

'n Eenvoudige raamwerk of teorie word aan die getalpatrone gekoppel. As dieselde getalpatroon of getalry naamlik "4; 7; 10; 13; 16; ..." beskou word, sien ons:

• 4 is die eerste getal, en ons noem dit dus die eerste term, d.w.s. "Term 1" of "T₁".

• 7 is die tweede getal, en ons noem dit dus die tweede term, d.w.s. "Term 2" of "T₂".

Ons kan dan die terme en getalle telkens soos volg aan mekaar gelyk stel:

      Term 1 = 4     oftewel   T₁ = 4

      Term 2 = 7     oftewel   T₂ = 7

      Term 3 = 10   oftewel   T₃ = 10, ensovoorts.

'n Leerder kan nou gevra word om die 6^de term te bepaal. Om die 6de term te verkry wat nog onbekend is, moet die (rekursiewe) reël toegepas word wat ons reeds deur waarneming van die eerste vyf terme bepaal het. Deur toepassing van die reël "plus 3" arriveer ons by die 6de term. Die waarde van die 6de term is "19". Let dat kennis van die termnommer nog oorbodig is vir bepaling van hierdie antwoord.

As die leerder egter die 100^ste of 200^ste term wil bepaal, volg die antwoord nie direk nie. 'n Verband tussen die termnommer en termwaarde moet nou bepaal word. As tussenstap word aanbeveel dat die leerder die terme en reeds bekende waardes in 'n tabel (of afbeelding) rangskik.

Die tabel is 'n tussenstap om by 'n eenvoudige algebraïese formule te arriveer. Die posisie (of plek in patroon) van ons term word nou as "n" en dus onder hofie "n" aangedui, terwyl die waarde by elke ooreenstemmende posisie as "Tn", en dus onder hofie "Tn" aangedui word. Hierdeur systap ons die gelykaan-tekens. Die tabel vir dieselde voorbeeld "4; 7; 10; 13; 16; ..." word dan as volg opgestel:

Die hofies is:

• n, d.w.s. hoeveelste plek die getal in die getalry lê (die termnommer)
• Tn, d.w.s. die waarde of antwoord van die getal by posisie "n"

Die uitdaging vir die leerder is nou om 'n algemene reël te vind wat "n" sal omskakel in "Tn". Ons wil m.a.w. deur inspeksie en waarneming kyk wat 1 sal omskakel in T₁, maar insgelyk 100 in T₁₀₀, of 200 in T₂₀₀, ens.

'n Wenk is hier nuttig: ons sien dat daar in die onderste (of waarde-ry) 'n konstante verskil is, en ons kan begin deur die boonste (of posisie-ry) telkens met daardie getal te maal. Dan kry ons 'n waarde-ry en posisie-ry wat slegs met 1 van mekaar verskil.

Anders gestel: as "n" en "Tn" twee atlete was, merk ons op dat "Tn" se treë drie keer groter as dié van "n" is, en "Tn" dus drie keer so vinnig as "n" vorder. Om vir atleet "n" eerstens te laat tred hou, moet sy posisie "n" telkens met 3 vermenigvuldig word. Deur inspeksie merk ons egter dat hulle posisies dan steeds met 1 verskil, en dit word met "plus 1" reggestel. Ons atlete "n" en "Tn" sal nou teen dieselde ritme hardloop, maar ook sy aan sy.

In woorde uitgedruk is die algemene reël dan: maal "n" met 3, plus 1. Voorgenoemde reël word soos volg as 'n formule uitgedruk:  

                                       Tn = (3 x n) + 1, oftewel: Tn = 3n + 1

Die 100^ste term kan nou bepaal word deur hierdie algemene formule te gebruik en "n" met 100 te vervang:

                                       T100 = 3(100) + 1 = 301

• Meetkundige ry

• Vereniging vir Afrikaanse Wiskunde-onderwysers