微分学

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微分学（英語：Differential calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一^{[註 1][1]}。

微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數的過程即為微分。若以圖示表示，函數在某一點的微分是函数图形在那一點的切線斜率（前提是在那一點的導數存在而且有定義）。針對單實數變數的實值函數（英语：Real-valued function）而言，函數在某一點的導數也就可以決定在那一點最佳的线性近似。微分和積分的關係可以由微积分基本定理來說明，此定理說明微分是積分的逆運算。

幾乎所有量化的學科中都有微分的應用。例如在物理学中，運動物體其位移對時間的導數即為其速度，速度對時間的導數就是加速度、物體动量對時間的導數即為物體所受的力，重新整理後可以得到牛顿第二运动定律${\displaystyle F=ma}$。化学反应的化學反應速率也是導數。在運籌學中，會透過導數決定在運輸或是設計上最有效率的作法。

導數常用來找函數的极值。含有微分項的方程式稱為微分方程，是自然現象描述的基礎。微分以及其廣義概念出現在許多數學領域中，例如複分析、泛函分析、微分几何、测度及抽象代数。

假設${\displaystyle x}$和y是實數，而且y是x的函數，也就是說，針對每一個x，都有一個對應的y。兩者的關係可以表示為y = f(x)。若f(x)是直線的方程式（稱為一次方程），則會存在兩個實數m和b使得y = mx + b。在這個「斜率－截距式」中，m是斜率，可以用下式來求得：

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$

其中符號Δ（是希臘大寫字母Δ）表示「變化」。以下的式子會成立：Δy = m Δx.

一般的函數不是直線，因此沒有斜率。在幾何上來看，函數f在x = a的導數就是函數f在a點切線的斜率（如圖）。常會表示為f ′(a) 或dy/dx|_{x = a}。因為導數是f在a點線性近似的斜率，因此導數（以及函數f在a點的值）是函數f在a點附近最佳的線性化近似。

若在函數f定義域中的每一點a都有導數，則存在一函數可以將每一點a對應到函數f在a點的導數。例如，若函數f(x) = x²，則其導數函數f ′(x) = dy/dx = 2x。

另一個有關的表示法是函數的微分。若x和y是實數變數，函數f在x點的導數為函數f在x點切線的斜率。因為f的引數及輸出都是純量，因此f的導數也是實數。若x和y是向量，則f圖形的最佳線性近似會和函數f在不同方向的變化有關。找到在單一方向的最佳近似，也就決定了偏微分，一般會表示為∂y/∂x。若找到了函數f在所有方向的線性化近似，則稱為全微分。

若以切線來看，微分的概念很早以前就出現了，像希臘幾何學家欧几里得（約300 BC）、阿基米德（約287–212 BC）及阿波罗尼奥斯（約262–190 BC）^[2]。阿基米德也引進了無窮小量的使用，不過最早是用在面積及體積上的研究，而不是在導數及切線上，參考阿基米德使用的無窮小量（英语：Archimedes' use of infinitesimals）。

在印度數學家（英语：Indian mathematics）的研究中有看到用無窮小量來探討量的變化，最早也許可以推到西元500年，當時天文學家及數學家阿耶波多用無窮小量來研究月球軌道^[3]。在印度數學家婆什迦羅第二（1114–1185）時，用無窮小量來計算量變化的研究有顯著的進展，也有人提到^[4]在他的著作中已提到許多微分学的重要概念，例如罗尔定理^[5]。

伊斯蘭數學家納色阿爾圖斯（英语：Sharaf al-Dīn al-Tūsī）（1135年–1213年）在其著作《Treatise on Equations》中說明了部份三次方程有解的條件，是透過找適當三次多項式的最大值來求得。他證明了三次多項式 a x² — x³的最大值出現在x = 2a/3，並且得到結論：方程式 a x² — x³ = c在c = 4 a³/27時恰有一正值的解，若0 < c < 4 a³/27會有二個正值的解^[6]。科學歷史學家罗什迪·拉希德（英语：Roshdi Rashed）^[7]認為阿爾圖斯一定是用到了三次多項式的導數才得到此一結果。不過也有其他學者質疑拉希德的想法，他們認為拉希德也可能用了其他不用導數概念的作法^[6]。

普遍認為近代微積分的發展是因為艾萨克·牛顿（1643年–1727年）及戈特弗里德·莱布尼茨（1646年–1716年）同時但獨立個別的研究^[8]，並且整合了有關微分及導數的作法。不過其中關鍵的概念（也是後來認定微積分是由他們兩人創始的原因）是結合微分以及積分的微积分基本定理^[9]，這也讓以往計算面積及體積，自從海什木以來沒有大幅進步的的方式變的過時^[10]。有關牛顿和莱布尼茨在微分上的想法，都是以早期數學家的貢獻為基礎，例如皮埃爾·德·費馬（1607年-1665年）、伊萨克·巴罗（1630年–1677年）、勒内·笛卡尔（1596年–1650年）、克里斯蒂安·惠更斯（1629年–1695年）、布莱兹·帕斯卡（1623年–1662年）及約翰·沃利斯 (1616年–1703年）。有關費馬的影響，牛頓曾在一封信中提到：「我從費馬畫切線的方式得到有關（通量）方法的暗示，將其用在抽象的方程……，我擴展了這個概念（directly and invertedly, I made it general.）^[11]。一般會將導數早期的發展歸功於伊萨克·巴罗^[12]，不過牛頓和莱布尼茨仍在微分學的歷史上有重要的貢獻，其中也包括了牛頓將微分用在理论物理学中，而莱布尼茨發展的符號到現今仍在普遍使用。

自從17世紀起，許多數學家都對微分学有所貢獻。在19世紀時，在奧古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（1826年–1866年）及卡尔·魏尔斯特拉斯（1815年–1897年）等數學家的貢獻下，微分學已更加的嚴謹。微分學也在此一時期擴展到欧几里得空间及复平面。

若f是在ℝ（或是其他開區間）內的可微函数，而x是f有局部最小值或是局部最大值的位置，則f在x處的導數為零。滿足f'(x) = 0的點稱為臨界點或是驻点（則f在x處的值稱為臨界值（英语：critical value））。若f沒有處處可微的特性，則f不可微的點也稱為臨界點。

若f是二次可微，則f的臨界點x可以用f在x的二次導數來分析：

• 若二次導數為正，則x是局部最小值
• 若二次導數為負，則x是局部最大值
• 若二次導數為零，則x可能是局部最小值、是局部最大值，也可能都不是（例如，f(x) = x³在x = 0處為臨界點，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 f(x) = ± x⁴在x = 0處為臨界點，分別是局部最小值及局部最大值）

上述作法稱為二次導數測試（英语：second derivative test）。一次導數測試（英语：first derivative test）是另一種分析方式，考慮f'在臨界點前後的符號變化。

取導數，並且求解臨界點是要找局部最小值或最大值的最簡單作法，常應用在最优化中。根據极值定理，連續函數在閉區間內至少會有一次局部最小值及局部最大值。若函數可微，其局部最小值及局部最大值只會出現在臨界點或是端點上。

取局部最小值及局部最大值也可以在函數圖形的繪制上：只要找到可微分函數的局部最小值、局部最大值以及位，可以根據觀察函數在各臨界點之間的趨勢來繪制簡圖。

在高維度的空間中，标量函數的臨界點是其梯度為0的點。仍然可以用二次導數測試來分析臨界點，作法是考慮函數在臨界點上二階導數形成海森矩阵的特征值。若所有特徵值都為正，此點為局部最小值；若所有特徵值都為負，此點為局部最大值；若部份為正，部份為負，表示臨界點為鞍點；不過若有部份特徵值為零，則無法以此方式判斷。

最佳化問題的一個例子是：找到在一曲面上，通過曲面上二點的最短路徑。若是在平面上，其最短路徑是直線。不過若曲面是較複雜的形狀（例如蛋形），最短路问题的解就不是那麼直觀了，此路徑稱為测地线，而這也是最佳化問題中最簡單的問題之一。另一個例子是：找到可以填充空間中封閉曲線的最小面積曲面，此曲面稱為极小曲面，也可以透過變分法求得。

微分在物理學上格外重要：許多物理的現象都是用有關微分的方程式來描述，這類方程稱為微分方程。物理學格外關注物理量隨時間的變化，而时间导数是物理量隨時間的變化率，是許多重要概念精準定義的基礎。尤其在牛頓力學中，很重視一物體位置的时间导数：

• 速度是一物體位移（相對於時間）的微分。
• 加速度是一物體速度（相對於時間）的微分，也就是位移（相對於時間）的二階微分。

例如：若物體在一直線上的位置可以用下式表示

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$

則其速度為

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$

而加速度為

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$

此時加速度已為定值。

微分方程是指一函數和其微分之間的關係。常微分方程會描述單變數函數和其微分之間的關係。而偏微分方程則是多變數函數和其偏微分之間的關係。在自然科學、數學建模，甚至是數學領域中都常常會出現微分方程。例如，牛頓第二定律描述力和加速度的關係，可以表示為以下的常微分方程

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

一維空間下的熱傳導方程式描述熱在一桿狀物上如何傳遞，其偏微分方程如下

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

此處u(x,t)為桿狀物時間t時，在位置x的溫度，而α為一常數，和熱在桿狀物上傳遞的速度成正比。

均值定理提供了函數的導數和其原始值之間的關係。若f(x)是實值函數，而a 和b是實數，且a < b，則根據均值定理（配合少許的假設），兩點(a, f(a))和(b, f(b))之間的斜率會等於在a和b中間某一點c的切線斜率。換句話說

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

實際上，均值定理是以其導數的方式來控制一個函數。例如，假設f有導數，在每一點均為0，這表示其每一點的切線都是水平線，因此其函數應該也就是水平線。均值定理證明這是對的：f圖上二點之間的斜率必須等於f中的某一條切線。而所有的切線斜率都是0，因此從函數上任二點之的直線斜率也是0。這表示函數不會上昇也不會下降，因此是水平線。若是導數的條件比較複雜，所產生的原函數資訊會比較不準確，但仍然有用。

一函數的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似，不過這和實際的函數可能有很大的差異。改善近似的一個方式就是進行二次近似。也就是說，實值函數f(x)在x₀點的線性化是線性多項式a + b(x − x₀)，若考慮一個二次多項式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)²，可能會有更好的近似結果。若二次多項式改為三次多項式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³，近似效果會更好一些，此概念可以擴展到任意多次的高次多項式。針對一個多項式，都應該會有一個最佳的係數a、b、c、d……的組合，讓近似的效果最好。

在x₀的邻域，對a來說，最理想的數值一定是f(x₀)，對b來說，最理想的數值一定是f'(x₀)，對For c、d及更高階的係數來說，其係數最理想的數值是由f更高階的導數決定。c最理想的數值一定是f''(x₀)/2，and d最理想的數值一定是f'''(x₀)/3!。利用這些係數，可以得到f的泰勒多項式。d次的泰勒多項式是對f可以有最佳近似的d次多項式，其係數可以用上述公式推廣而得。泰勒公式提供近似程度的精確範圍。若函數f是次數小於等於d的多項式。則此函數的d次泰勒多項式即為函數f。

泰勒多項式的極限是無窮級數，稱為泰勒级数。多半來說泰勒级数是原函數非常理想的近似。一函數若都各點等於其泰勒级数，稱為解析函数。若函數有不連續點或是斜率不連續的尖角，此函數不會是解析函数，不過相反的，存在一些函數是光滑函数（無窮階可導的函數），卻不是解析函数（非解析的光滑函數（英语：Non-analytic_smooth_function））。

有些幾何圖形（例如圆）無法用函数图形來表示。例如若f(x, y) = x² + y² − 1，其圓即為所有使f(x, y) = 0的點 (x, y)的集合。這個集合稱為f的零集。這和f本身的圖形（抛物面）不同。隐函数定理可以將f(x, y) = 0之類的關係轉換為函數。其中提到，若f是連續可微函數，f的零集中大部份都可以表示為函數圖形「粘貼」的組合。零集上的個點是否滿足上述條件，可以用一個和f微分有關的方式來確認。例如圓可以表示成二個函數圖形±${\displaystyle {\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}}$「粘貼」後的結果。圓上除了(−1, 0)和(1, 0)二點之外，在其餘每一個點的鄰域上，上述二個函數中都有一個的圖形和圓的圖形類似。（上述二個函數其實剛好也通過(−1, 0)和(1, 0)，不過這不是隐函数定理中提到的內容）

隐函数定理和反函数定理有密切的關係。反函数定理提到一函數在一點的開區域內具有反函數的充分條件。

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• J. Edwards. Differential Calculus. London: MacMillan and Co. 1892 [2018-07-18]. （原始内容存档于2019-05-21）.