积分因子

系列條目
微积分学
函数 极限论 微分学 积分 微积分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论） 實數性質 函数 单调性 初等函数 數列 极限 实数的构造 1=0.999… 无穷 銜尾蛇 無窮小量 ε-δ語言 实无穷（英语：Actual infinity） 大O符号 最小上界 收敛数列 芝诺悖论 柯西序列 单调收敛定理 夹挤定理 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 斯托尔兹-切萨罗定理 上极限和下极限 函數極限 渐近线 邻域 连续 連續函數 不连续点 狄利克雷函数 稠密集 一致连续 紧集 海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数（英语：convergent series） 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数（英语：function series） 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數
一元微分 差分 均差 微分 微分的线性（英语：linearity of differentiation） 导数 流数法 二阶导数 光滑函数 高阶微分 莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） 幽灵似的消失量 介值定理 中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 求导法则 乘积法则 广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule） 除法定则 倒数定则 链式法则 洛必达法则 反函数的微分 Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula） 对数微分法 导数列表 导数的函数应用 单调性 切线 极值 驻点 拐点 求导检测（英语：derivative test） 凸函數 凹函數 簡森不等式 曲线的曲率 埃尔米特插值 达布定理 魏尔施特拉斯函数
一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧 换元积分法 三角换元法 分部积分法 部分分式积分法 降次积分法 微元法 积分第一中值定理 积分第二中值定理 微积分基本定理 反常積分 柯西主值 積分函數 Β函数 Γ函数 古德曼函数 椭圆积分 數值積分 矩形法 梯形公式 辛普森積分法 牛顿-寇次公式 积分判别法 傅里叶级数 狄利克雷定理 周期延拓 魏尔施特拉斯逼近定理 帕塞瓦尔定理 刘维尔定理
多元微积分 偏导数 隐函数 全微分 微分的形式不变性 二阶导数的对称性 全微分 方向導數 标量场 向量場 梯度 Nabla算子 多元泰勒公式 拉格朗日乘数 黑塞矩陣 鞍點 多重积分 逐次积分 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)） 积分估值定理 旋转体 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 祖暅-卡瓦列里原理 托里拆利小号 雅可比矩阵 广义多重积分 高斯积分 若尔当曲线 曲线积分 曲面积分 施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца） 散度 旋度 通量 可定向性 格林公式 高斯散度定理 斯托克斯定理及其外微分形式 若尔当测度 隐函数定理 皮亚诺-希尔伯特曲线 积分变换 卷积定理 积分符号内取微分 莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule） 多变量原函数的存在性 全微分方程 外微分的映射原像存在性 恰当形式 向量值函数 向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative） 加托导数 弗雷歇导数 矩阵的微积分（英语：matrix calculus） 弱微分
微分方程 常微分方程 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 分离变数法 级数展开法 积分因子 拉普拉斯算子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 叠加原理 特徵方程式 朗斯基行列式 微分算子法 差分方程 拉普拉斯变换 偏微分方程 拉普拉斯方程 泊松方程 施图姆-刘维尔理论 N体问题 积分方程
相关数学家 牛顿 莱布尼兹 柯西 魏尔斯特拉斯 黎曼 拉格朗日 欧拉 帕斯卡 海涅 巴罗 波尔查诺 狄利克雷 格林 斯托克斯 若尔当 达布 傅里叶 拉普拉斯 雅各布·伯努利 約翰·白努利 阿达马 麦克劳林 迪尼 沃利斯 费马 达朗贝尔 黑维塞 吉布斯 奥斯特罗格拉德斯基 刘维尔 棣莫弗 格雷果里 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） 婆什迦羅第二 阿涅西 阿基米德
历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） 无穷小分析引论 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） 微积分学教程 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科 实变函数论 複分析 傅里叶分析 变分法 特殊函数 动力系统 微分几何 微分代数 向量分析 分数微积分 玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus） 随机分析 最优化 非标准分析
查 论 编

积分因子（英語：integrating factor）是一种用来解微分方程的方法。

考虑以下形式的微分方程：

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)}$

其中${\displaystyle y=y(x)}$是${\displaystyle x}$的未知函数，${\displaystyle a(x)}$和${\displaystyle b(x)}$是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数${\displaystyle M(x)}$。我们把(1)的两边乘以${\displaystyle M(x):}$

${\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)}$

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)}$

两边积分，得：

${\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}$

其中${\displaystyle C}$是一个常数。于是，

${\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,}$

为了求出函数${\displaystyle M(x)}$，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

${\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad }$

与(2)比较，可知${\displaystyle M(x)}$满足以下微分方程：

${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,}$

两边除以${\displaystyle M(x)}$，得：

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)}$

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.}$

我们可以看到，${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)}$的性质在解微分方程中是十分重要的。${\displaystyle M(x)}$称为积分因子。

解微分方程

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

我们可以看到，${\displaystyle a(x)={\frac {-2}{x}}}$：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

两边乘以${\displaystyle M(x)}$，得：

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

或

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}$

可得

${\displaystyle y(x)=Cx^{2}.}$

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$

可以看到，${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$是一个积分因子：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}$

利用复合函数求导法则，可得：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}$

因此

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}$

利用分离变量法，可得：

${\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},}$

这就是方程的通解。

• 微分方程
• 乘法定则
• 全微分

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.