达布积分

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在实分析或数学分析中，达布积分（英語：Darboux integral）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。

一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$。每个闭区间${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$叫做一个子区间。定义${\displaystyle \lambda }$ 为这些子区间长度的最大值：${\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}$，其中${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$。

再定义取样分割。一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个取样分割是指在进行分割${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$后，于每一个子区间中${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$取出一点 ${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$。${\displaystyle \lambda }$的定义同上。

精细化分割：设${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$构成了闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个取样分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$是另一个分割。如果对于任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$，都存在${\displaystyle r(i)}$使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$，并存在${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$，那么就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$称作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ 为一个有界函数，又设

${\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}$

是闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割。令:

${\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$

${\displaystyle m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$

${\displaystyle f}$在分割${\displaystyle P}$下的上达布和定义为：

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$

同样的有下达布和的定义：

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$

${\displaystyle f}$的上达布积分指的是所有上达布和的下确界：

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P}$是闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割${\displaystyle \;\}}$

同样的${\displaystyle f}$的下达布积分指的是所有下达布和的上确界：

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P}$是闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割${\displaystyle \;\}}$

如果${\displaystyle U_{f}=L_{f}}$那么${\displaystyle f}$就称作达布可积的，并用${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}}$表示，记作${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$的达布积分。

• 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以${\displaystyle b-a}$为宽，以${\displaystyle \mathrm {inf} (f)}$为高的矩形下，占据${\displaystyle [a,b]}$。同样，上达布和被限制在以${\displaystyle b-a}$为宽，以${\displaystyle \mathrm {sup} (f)}$为高的矩形上。

${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• 下达布和和上达布和满足

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• 对处于${\displaystyle (a,b)}$的任意${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow R}$是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}}$

• 对于一个常数${\displaystyle c\geq 0}$我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}$

• 对于一个常数${\displaystyle c\leq 0}$我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}$

• 考虑函数${\displaystyle F:[a,b]\rightarrow R}$定义为

${\displaystyle F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx}$

那么${\displaystyle F}$是利普希茨连续的。当${\displaystyle F}$是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

假设我们想证明函数${\displaystyle f(x)=x}$在区间${\displaystyle [0,1]}$上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间${\displaystyle [0,1]}$分割为${\displaystyle n}$个等大的子区间，每个区间长度为${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$。我们取${\displaystyle n}$个等大的子区间中一个作为${\displaystyle P_{n}}$。

现在因为${\displaystyle f(x)=x}$在${\displaystyle [0,1]}$上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在${\displaystyle P_{n}}$中第${\displaystyle k}$个子区间的起点是${\displaystyle {\frac {k-1}{n}}}$，终点是${\displaystyle {\frac {k}{n}}}$。那么在一个分割${\displaystyle P_{n}}$上的下达布和就是

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

类似地，上达布和为

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

由于

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$

则对于任意${\displaystyle \varepsilon >0}$，我们得到对于${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$的任何分割${\displaystyle P_{n}}$都满足

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}}$

得证${\displaystyle f}$是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

如果我们有函数${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}$定义为

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}}$

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定${\displaystyle f}$在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割${\displaystyle P}$我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

从中我们可以看出上下达布和不等。

如果分割${\displaystyle P':y_{0},\ldots ,y_{m}}$比分割${\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}$“精细”，那么有${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$ 以及 ${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}}$。这是因为${\displaystyle P'}$实际上是将${\displaystyle P}$中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上${\displaystyle f}$的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果${\displaystyle P_{1},P_{2}}$是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}}$.

所以，

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}}$

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}$

并且

${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!}$

共同构成区间上的一个取样分割

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!}$

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应${\displaystyle P}$和${\displaystyle T}$的黎曼和为 ${\displaystyle R}$，就有

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!}$

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

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