介值定理

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查 论 编

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中间值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ 為一連續函數。若一實數 ${\displaystyle u}$ 滿足 ${\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)\leq 0}$，則存在一實數 ${\displaystyle c\in [a,b]}$ 使得 ${\displaystyle f(c)=u}$。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

先证明第一种情况 ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设 ${\displaystyle S}$ 为所有滿足 ${\displaystyle f(x)\leq u}$ 的 ${\displaystyle x\in [a,b]}$ 所構成的集合。由 ${\displaystyle a\in S}$ 可知 ${\displaystyle S}$ 非空。由於 ${\displaystyle S}$ 具有上界 ${\displaystyle b}$，故由实数的完备性知 ${\displaystyle S}$ 有最小上界 ${\displaystyle c=\sup S}$。我们以反证法证明 ${\displaystyle f(c)=u}$。

• 首先假设 ${\displaystyle f(c)>u}$。由於 ${\displaystyle f}$ 连续，我們能找到正实数 ${\displaystyle \delta }$ 使得 ${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u}$ 對所有 ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ 均成立。由於 ${\displaystyle c=\sup S}$，故存在滿足 ${\displaystyle c-\delta <y\leq c}$ 的 ${\displaystyle y\in S}$；此時 ${\displaystyle {\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta }$，故 ${\displaystyle f(y)-f(c)>-(f(c)-u)}$，即 ${\displaystyle f(y)>u}$，與 ${\displaystyle y\in S}$ 矛盾。故原假設 ${\displaystyle f(c)>u}$ 不成立。
• 接著假设 ${\displaystyle f(c)<u}$。由於 ${\displaystyle f}$ 连续，我們能找到正实数 ${\displaystyle \delta }$ 使得 ${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)}$ 對所有 ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ 均成立。設 ${\displaystyle y=c+\delta /2}$；此時 ${\displaystyle f(y)-f(c)<u-f(c)}$，即 ${\displaystyle f(y)<u}$，故 ${\displaystyle y\in S}$。這會導致 ${\displaystyle c}$ 不是 ${\displaystyle S}$ 的上界，矛盾。故原假設 ${\displaystyle f(c)<u}$ 不成立。

因此${\displaystyle f(c)=u}$。

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$滿足${\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2}$，但不存在滿足${\displaystyle f(x)=0}$的有理數${\displaystyle x}$。

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数${\displaystyle f(x)}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，且${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$，则必存在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$使${\displaystyle f(\xi )=0}$成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。^[1]

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.