數值微分

數值微分是數值方法中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數導數的演算法。

最簡單的方式是使用有限差分近似。

簡單的二點估計法是計算經過(x,f(x))及鄰近點(x+h,f(x+h))二點形成割線的斜率^[1]選擇一個小的數值h，表示x的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為

${\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}.}$

此表示法是牛頓的差商，也稱為一階均差。

割線斜率和切線斜率有些差異，差異大約和h成正比。若h近似於0，則割線斜率近似於切線斜率。因此，函數f真正在x處真正的斜率是割線趨近切線時的差商：

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.}$

若直接將h用0取代會得到除以零的結果，因此計算導數需要一些較不直覺的的方式。

同様的，切線斜率也可以用(x - h)和x二點的割線斜率近似。

另外一種二點估計法是用經過(x-h,f(x-h))和(x+h,f(x+h))二點的割線，其斜率為

${\displaystyle {f(x+h)-f(x-h) \over 2h}.}$

上述公式稱為對稱差分，其一次項誤差相消，因此割線斜率和切線斜率的差和${\displaystyle h^{2}}$成正比。對於很小的h而言這個值比單邊近似還要準確。特別的是公式雖計算x點的斜率，但不會用到函數在x點的數值。

估計誤差為：

${\displaystyle R={{-f^{(3)}(c)} \over {6}}h^{2}}$,

其中${\displaystyle c}$為在${\displaystyle x-h}$和${\displaystyle x+h}$之間的某一點。此誤差沒有包括因為有限準確度而產生的捨入誤差。

很多工程計算機都是用對稱差分來計算導數，像德州儀器（TI）的TI-82、TI-83、TI-84及TI-85，其h=0.001^[2][3]。

雖然在實務十分常用，但上述二種方式的數值微分常被研究者批評，尤其是被一些鼓勵使用自動微分的研究者批評^[4]，因為上述的數值微分其精確度不高，若計算器精準度是六位數，用對稱差分計算導數只有三位數的精確度，而若是找到一計算斜率的函數，仍可以有幾乎六位數的精確度。例如假設f(x) = x²，用2x計算斜率有幾乎完整的準確度，而用差分近似就會有上述的問題。

若計算時使用浮點數，就需要考慮h要取到多小。若選的太小，相減之後會有大的捨入誤差，事實上整個有限差分的公式都是病態的^[5]，若h夠小，導數不為零的情形下，在相消後會得到數值微分為零的結果^[6]，若h太大，計算割線斜率的結果就會更加準確，但用割線斜率估算切線斜率的誤差就更大了。

一種可以產生夠小的h，但又不會產生捨入誤差的方式是${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}$（不過x不能為0），其中最小浮点数（英语：machine epsilon）ε大約是2.2×10⁻¹⁶數量級。 ^[7]。以下是一個一個可以平衡捨入誤差和公式誤差，有最佳精確度的h為

${\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon |{f(x) \over f''(x)}|}}}$ ^[8] （不過f"(x) = 0時不成立），而且需要有關函數的資訊。

上述的最小浮点数是針對雙精度（64-bit）變數，單精度變數在這類計算幾乎不太實用。其計算結果在二進制中不太可能是「整數」。雖然x是可以用浮點數表示的數字，但x + h幾乎不會也是可用浮點數表示（而且和x不同）的數字，因此x + h需調整為機器可讀的數字，因此會出現(x + h) - x不等於h的情形，因此用二個函數計算值計算微分時，二個位置的差不會是h。幾乎所有的十進制分數在二進制下都會是循環小數（都像1/3在十進制中的情形一様），例如h = 0.1在二進制下會是循環小數，是 0.000110011001100...。因此在浮點數下一個可能計算的方式是：

 h:=sqrt(eps)*x;
 xph:=x + h;
 dx:=xph - x;
 slope:=(F(xph) - F(x))/dx;

先計算(x + h) - x的值，再用這個值作為微分算式的分母，不過若是用電腦計算，編譯器最佳化的機能可能會認為dx和h相同，因此讓上述的方式失效。若是用C或其他類似的程式語言，可以讓xph宣告成Volatile变量，以避免此一問題。

也有用更高階估計導數的方法，或是估計高階導數的方法。

以下就是一階導數的五點法（一維下的五點模版（英语：five-point stencil））^[9]

${\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c)}$

其中${\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}$.

微分求积（英语：Differential quadrature）（Differential quadrature）是用函數在特定位置數值的加權和來近似導數^[10][11]，其名稱類似數值積分中用的求积（quadrature），也就是像梯形法或是辛普森法中用的加權和，有許多方式可找出加權的係數，在求解偏微分方程時會用到微分求积。

傳統用有限差分近似數值微分的方式是病態的，不過若${\displaystyle f}$是全純函數，在實軸上的值都是實數，可以用複數平面中靠近${\displaystyle x}$的位置來求值，此方式為數值穩定的方式，例如^[6]一階導數可以用以下的複數導數公式計算^[12]：

${\displaystyle f'(x)\approx \Im (f(x+ih))/h}$.

上述公式只在計一階導數時有效，若要拓展到任意階導數，需要用到多重复数，結果也會是多重复数的導數。^[13]

而任意階的導數可以用柯西積分公式計算：

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} z}$,

其中積分會用數值積分計算。

Lyness和Moler在1967年提出用複變數來計算數值微分^[14]。Abate和Dubner提出一種用複數拉普拉斯轉換的數值反演為基礎的算法^[15]。

• 自動微分
• 差分
• 五点模板（英语：Five-point stencil）
• 數值積分
• 數值常微分方程（英语：Numerical ordinary differential equations）
• Savitzky–Golay濾波器（英语：Savitzky–Golay filter）
• 數值分析軟體列表（英语：List of numerical analysis software）

• http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20130820223117/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html
• Numerical Differentiation Resources: Textbook notes, PPT, Worksheets, Audiovisual YouTube Lectures at Numerical Methods for STEM Undergraduate
• ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF^{[失效連結]} Fortran code for the numerical differentiation of a function using Neville's process to extrapolate from a sequence of simple polynomial approximations.
• NAG Library numerical differentiation routines （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://graphulator.com （页面存档备份，存于互联网档案馆） Online numerical graphing calculator with calculus function. （页面存档备份，存于互联网档案馆）