Ploščina

 

Enota za merjenje ploščine je enotski kvadratek - to je kvadrat, ki ima za stranico 1 dolžinsko enoto. Ploščina lika je število, ki nam pove, koliko enotskih kvadratkov popolnoma prekrije dani lik. Zgled: Pravokotnik s stranicama 5 (dolžinskih enot) in 4 (dolžinske enote) lahko pokrijemo s 5 · 4 = 20 enotskimi kvadratki, torej je njegova ploščina enaka 20 (ploščinskih enot). Na tem principu temelji formula za ploščino pravokotnika s stranicama a in b: ploščina p = ab.

Pri drugih likih se pokrivanje z enotskimi kvadratki ne izide vedno. Postopek nadaljujemo z manjšimi kvadratki, npr s takimi, ki predstavljajo stotinko, desettisočinko, milijoninko osnovne enote in tako napej do infinitezimalno majhnih enot.

Za računanje ploščin osnovnih likov uporabljamo naslednje formule:

• ploščina trikotnika z dano stranico in višino:

${\displaystyle p={\frac {a~v_{a}}{2}}={\frac {b~v_{b}}{2}}={\frac {c~v_{c}}{2}}}$ 

• ploščina trikotnika z danima dvema stranicama in kotom med njima:

${\displaystyle p={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ac\sin \beta }{2}}}$ 

• ploščina trikotnika z danimi stranicami (Heronova formula):

${\displaystyle p={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ , pri čemer je ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ 

• ploščina enakostraničnega trikotnika:

${\displaystyle p={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 

• ploščina pravokotnika s stranicama a in b:

${\displaystyle p=a~b\!\,}$ 

• ploščina kvadrata s stranico a:

${\displaystyle p=a^{2}\!\,}$ 

• ploščina paralelograma z dano stranico in ustrezno višino:

${\displaystyle p=a~v_{a}=b~v_{b}\!\,}$ 

• ploščina paralelograma z danima dvema stranicama in enim kotom:

${\displaystyle p=ab\sin \alpha =ab\sin \beta \!\,}$ 

• ploščina trapeza z danima osnovnicama in višino:

${\displaystyle p={\frac {a+c}{2}}~v}$ 

• ploščina štirikotnika s pravokotnima diagonalama e in f (npr.: deltoida, romba):

${\displaystyle p={\frac {ef}{2}}}$ 

• ploščina pravilnega trikotnika (enakostraničnega trikotnika):

${\displaystyle p={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 

• ploščina pravilnega štirikotnika (kvadrata):

${\displaystyle p=a^{2}\!\,}$ 

• ploščina pravilnega šestkotnika:

${\displaystyle p={\frac {3a^{2}{\sqrt {3}}}{2}}}$ 

• ploščina pravilnega osemkotnika:

${\displaystyle p=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}}$ 

• ploščina kroga s polmerom r:

${\displaystyle p=\pi r^{2}\!\,}$ 

• ploščina elipse s polosema a in b:

${\displaystyle p=\pi ab\!\,}$ 

Ploščino krivočrtnih likov, ko so omejeni s krivuljami lahko izračunamo z integralom.

• ploščina lika pod grafom funkcije ${\displaystyle y=f(x)}$  na intervalu ${\displaystyle [a,b]}$ :

${\displaystyle p=\int _{a}^{b}f(x)dx}$ 

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s parametrično podano krivuljo ${\displaystyle x=x(t),y=y(t)}$  med vrednostmi parametra ${\displaystyle t=t_{0}}$  in ${\displaystyle t=t_{1}}$ (vrednost ${\displaystyle o}$  je enaka ${\displaystyle 1}$  ali ${\displaystyle -1}$  in je odvisna od orientacije krivulje):

${\displaystyle o\cdot p={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}xdy-ydx={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x(t){\dot {y}}(t)-{\dot {x}}(t)y(t)\right)dt}$ 

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s krivuljo podano v polarnih koordinatah ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ :

${\displaystyle p=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}r^{2}(\varphi )d\varphi }$ 

• ploščine zanke, ki jo omejuje pozitivno orientirana parametrično podana krivulja (integalske meje sta parametra samopresečišča):

${\displaystyle p={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}xdy-ydx={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x(t){\dot {y}}(t)-{\dot {x}}(t)y(t)\right)dt}$ 

Mednarodni sistem enot (SI) predpisuje za merjenje površine izpeljano enoto kvadratni meter. Poleg tega pogosto uporabljamo tudi kvadratni centimeter, kvadratni milimeter, kvadratni kilometer, ipd.

• površina
• obseg