Površina

Za ploskev, ki je sestavljena iz več ravnih ploskvic, je površina enaka vsoti ploščin posameznih ploskvic. To definicijo se pogosto sreča v povezavi s poliedri (oglatimi telesi): površina poliedra je vsota ploščin vseh njegovih mejnih ploskev. Površino poliedra se lahko ponazori tako, da se vse ploskve razgrne v isto ravnino – tako dobljena slika se imenuje mreža geometrijskega telesa.

 

Za neravne ploskve je stroga matematična definicija nekoliko bolj zapletena, a v bistvu gre za isto načelo: površina je vsota ploščin infinitezimalno majhnih ploskvic, ki pokrivajo dano ploskev. Če je ploskev podana kot funkcija dveh spremenljivk z = f(x,y) (za (x,y) z danega območja D), potem je površina ploskve enaka:

${\displaystyle P=\int _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\!\,.}$ 

Za računanje površin teles se uporablja naslednje formule:

• površina kocke z robom a:

${\displaystyle P=6a^{2}\!\,.}$ 

• površina kvadra z robovi a, b in c:

${\displaystyle P=2ab+2ac+2bc\!\,.}$ 

• površina prizme:

${\displaystyle P=2{\mathcal {O}}+pl\!\,}$  (O je ploščina osnovne ploskve, pl je površina plašča).

• površina pokončne prizme:

${\displaystyle P=2{\mathcal {O}}+ov\!\,}$  (O je ploščina osnovne ploskve, o je obseg osnovne ploskve, v je višina prizme).

• površina pokončnega krožnega valja s polmerom r in višino v:

${\displaystyle P=2\pi r^{2}+2\pi rv\!\,.}$ 

• površina piramide:

${\displaystyle P={\mathcal {O}}+pl\!\,}$  (O je ploščina osnovne ploskve, pl je površina plašča).

• površina pokončnega krožnega stožca s polmerom r, višino v in stranskim robom (stranico) s:

${\displaystyle P=\pi r^{2}+\pi rs\!\,.}$ 

• površina krogle s polmerom r:

${\displaystyle P=4\pi r^{2}\!\,.}$ 

 

Vsaka enota za dolžino ima ujemajočo se enoto za površino, in sicer površino kvadrata z dano dolžino stranice. Tako lahko površine merimo v kvadratnih metrih (m²), kvadratnih centimetrih (cm²), kvadratnih milimetrih (mm²), kvadratnih kilometrih (km²), kvadratnih čevljih (ft²), kvadratnih jardih (yd²), kvadratnih miljah (mi²) in tako naprej.^[1] Algebraično si lahko te enote predstavljamo kot kvadrate ustreznih dolžinskih enot.

Enota SI za površino je kvadratni meter, ki velja za izpeljano enoto SI.^[2]

 

Izračun površine kvadrata, katerega dolžina in širina sta 1 meter, bi bil:

1 meter × 1 meter = 1 m ²

Pravokotnik z različnimi stranicami (recimo dolžino 3 metre in širino 2 metra) bi imel površino v kvadratnih enotah, ki jo je mogoče izračunati kot:

3 metre × 2 metra = 6 m ². To je enakovredno 6 milijonom kvadratnih milimetrov. Druge uporabne pretvorbe so:

• 1 kvadratni kilometer = 1.000.000 kvadratnih metrov
• 1 kvadratni meter = 10.000 kvadratnih centimetrov = 1.000.000 kvadratnih milimetrov
• 1 kvadratni centimeter = 100 kvadratnih milimetrov.

V nemetričnih enotah je pretvorba med dvema kvadratnima enotama kvadrat pretvorbe med ustreznima dolžinskima enotama.

1 čevelj = 12 palcev,

razmerje med kvadratnimi čevlji in kvadratnimi palci je

1 kvadratni čevelj = 144 kvadratnih palcev,

kjer je 144 = 12² = 12 × 12. Podobno:

• 1 kvadratni jard = 9 kvadratnih čevljev
• 1 kvadratna milja = 3.097.600 kvadratnih jardov = 27.878.400 kvadratnih čevljev

Poleg tega pretvorbeni faktorji vključujejo:

• 1 kvadratni palec = 6,4516 kvadratnih centimetrov
• 1 kvadratni čevelj = 0,092 903 04 kvadratnih metrov
• 1 kvadratni jard = 0,836 127 36 kvadratnih metrov
• 1 kvadratna milja = 2,589 988 110 336 kvadratnih kilometrov

Obstaja več drugih enot za površino. Ar je bila v metričnem sistemu prvotna enota za površino:

• 1 ar = 100 kvadratnih metrov

Čeprav se ar ni več uporabljal, se hektar še vedno pogosto uporablja za merjenje zemeljske površine:^[3]

• 1 hektar = 100 arov = 10.000 kvadratnih metrov = 0,01 kvadratnih kilometrov

Aker se prav tako običajno uporablja za merjenje zemljišč, kjer

• 1 hektar = 4.840 kvadratnih jardov = 43.560 kvadratnih čevljev.

Aker je približno 40% hektarja.

Na atomski lestvici se površina meri v enotah barnov, tako da:^[4]

• 1 barn = 10⁻²⁸ kvadratnih metrov.

Barn se običajno uporablja pri opisovanju prečnega prereza interakcije v jedrski fiziki.^[5]

V Indiji,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 aker

• ploščina
• ploskev
• prostornina